Auswirkung der Koordinatenänderung auf Euler-Lagrange-Gleichungen für Skalarfelder

Unter allgemeine Koordinatentransformationen

$$x^{\mu}\quad\longrightarrow\quad x^{\prime \nu}~=~f^{\nu}(x) \tag{A},$$ die Lagrange-Dichte $${\cal L}\quad\longrightarrow\quad{\cal L}^{\prime}~=~\frac{{\cal L}}{J}, \qquad J~:=~\det M, \qquad M^{\nu}{}_{\mu}~:=~\frac{dx^{\prime\nu}}{dx^{\mu}}, \tag{B}$$ verwandelt sich als Dichte; das Feld
$$\phi~=~ \phi^{\prime} \tag{C}$$ ist ein Skalar; Die Ableitung $$\phi_{,\mu}~:=~\frac{d\phi}{dx^{\mu}}~=~\frac{d\phi}{dx^{\prime\nu}} M^{\nu}{}_{\mu}\tag{D}$$ ist ein Einform/Covektor; die de Donder-Polyimpulsdichte $$\pi^{\mu}~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi_{,\mu}} \quad\longrightarrow\quad \pi^{\prime\mu} ~=~ J^{-1}M^{\nu}{}_{\mu} \pi^{\mu} \tag{E}$$ transformiert als Vektordichte ; und der funktionale Ableitungs- / Euler-Lagrange (EL)-Ausdruck $$\frac{\delta S}{\delta \phi}~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi} - \frac{d\pi^{\mu}}{dx^{\mu}} \quad\longrightarrow\quad J^{-1}\frac{\delta S}{\delta \phi} \tag{F}$$ transformiert sich als Dichte, vgl. Frage von OP.

Überprüfung von Gl. (F): Das ist der erste Begriff$\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi}$in Gl. (F) als Dichte transformiert ist offensichtlich. Die Transformationseigenschaft des zweiten Terms$\frac{d\pi^{\mu}}{dx^{\mu}}$in Gl. (F) kann durch folgende Rechnung überprüft werden:

$$\frac{d\pi^{\prime \nu}}{dx^{\prime \nu}} ~\stackrel{(E)}{=}~\frac{dx^{\mu}}{dx^{\prime \nu}}\frac{d}{dx^{\mu}}\left(J^{-1} \frac{dx^{\prime \nu}}{dx^{\lambda}} \pi^{\lambda} \right) ~=~J^{-1}\frac{d\pi^{\mu}}{dx^{\mu}} + \frac{d(J^{-1})}{dx^{\lambda}}\pi^{\lambda} + J^{-1}(M^{-1})^{\mu}{}_{\nu} \frac{d M^{\nu}{}_{\mu}}{dx^{\lambda}} \pi^{\lambda}$$ $$\stackrel{(H)}{=}J^{-1}\frac{d\pi^{\mu}}{dx^{\mu}} - J^{-1} \frac{d\ln\det M}{dx^{\lambda}}\pi^{\lambda} + J^{-1} \frac{d{\rm tr}\ln M }{dx^{\lambda}} \pi^{\lambda}~\stackrel{(I)}{=}~J^{-1}\frac{d\pi^{\mu}}{dx^{\mu}} ,\tag{G}$$ wo wir verwendet haben $$\mathrm{d} {\rm tr} \ln M ~\stackrel{M={\bf 1}-A}{=}~ - \mathrm{d} {\rm tr} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{A^n}{n} ~=~ - {\rm tr} \sum_{n=1}^{\infty} A^{n-1} \mathrm{d}A ~\stackrel{M={\bf 1}-A}{=}~ {\rm tr} (M^{-1} \mathrm{d}M), \tag{H}$$ und die bekannte Formel $$\ln\det M ~=~{\rm tr}\ln M\qquad\stackrel{M=e^A}{\Leftrightarrow}\qquad \det e^A ~=~e^{{\rm tr}A}.\tag{I}$$ $\Box$

Um dies zu beantworten, schreiben Sie Ihre Aktion einfach koordinateninvariant auf. Alle Felder$\partial_\mu\phi$muss durch die Metrik oder einen anderen Tensor kontrahiert werden, sodass die gesamte Lagrange-Dichte ein Skalar multipliziert mit ist$\sqrt{-g}$. Auch die partiellen Ableitungen$\partial_\mu \phi$können auch durch kovariante Ableitungen ersetzt werden$\nabla_\mu \phi$seit$\phi$ist ein Skalar.

Zum Beispiel haben wir für ein Klein-Gordon-Feld

$$S=\int d^4x \sqrt{-g} \frac{1}{2}\left(g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi -m^2\phi^2\right)=\int d^4 x \sqrt{-g} L(\phi,\nabla_\mu\phi)$$

Das$L$ist bequemer, weil es ein Skalar ist und sich nicht durch Jacobi ändert (the$\sqrt{-g}$kümmert sich darum).

Beachten Sie die Metrik$g$kann flach sein, aber der Punkt dabei ist, dass man leicht erkennen kann, wie sich die Dinge unter Koordinatentransformationen ändern.

Finden Sie nun die Bewegungsgleichungen, indem Sie eine partielle Integration mit der kovarianten Ableitung durchführen, was bequemer ist, weil es metrisch kompatibel ist und wir die Identität haben

$$\sqrt{-g}\nabla_\mu V^\mu = \partial_\mu(\sqrt{-g}V^\mu)$$ für jeden Vektor$V$.

Die Bewegungsgleichungen sind also

$$\nabla_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial \nabla_\mu \phi}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0$$

Für das Klein-Gordon-Beispiel ist dies:

$$g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\phi + m^2\phi=0$$ Im flachen Raum ist das üblich $$\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu \phi +m^2\phi=0,$$ aber Sie sehen, dass Sie die Koordinaten in den partiellen Ableitungen in diesem Ausdruck nicht einfach ändern können, da dies die Verbindungskoeffizienten innerhalb der kovarianten Ableitungen vergisst.

In Ihrer ersten Art schreiben Sie die Bewegungsgleichungen mit$J$Die Verbindungskoeffizienten werden angezeigt, wenn Sie partielle Ableitungen von nehmen$J$(aufgrund dieser Identität mit Derivaten von$\sqrt{-g}$habe ich oben geschrieben).