Variieren der Einstein-Hilbert-Aktion ohne Bezugnahme auf ein Diagramm

Zunächst einmal ist es etwas unklar, was Sie genau wollen. Wie in:

• Wollen Sie einen Ansatz, der ganz ohne Koordinaten auskommt, aber beispielsweise Frames verwenden kann?

• Wollen Sie einen vollständig "invarianten" Ansatz, der absolut keine lokalen Trivialisierungen irgendwelcher Faserbündel verwendet? Wenn ja, sind Sie bereit, an den Gesamtflächen dieser Bündel zu arbeiten?

• Möchten Sie unabhängig von anderen Überlegungen einen globalen Ansatz ?

• Möchten Sie einen Ansatz, der keine Indizes verwendet , aber alles andere ist Spiel?

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Das ist mir nicht klar. Vor allem, dass trotz der Tatsache, dass Ihr Problem mit der Antwort von Arnold Neumaier darin bestand, dass Frames verwendet werden, das elektrodynamische Beispiel, das Sie gegeben haben, im Wesentlichen auch Frames verwendet .

Warum? Weil wenn$P\rightarrow M$ist Schulleiter$\text{U}(1)$Bundle mit Haupt-Ehresmann-Anschluss$\omega$, was du dann nennst$A$ist im Wesentlichen wie folgt definiert. Wenn$(U,\varphi)$ist ein Ortsteil von$P$($U\subseteq M$ist die Domäne und$\varphi:U\rightarrow P$ist die Karte), dann definieren wir$A^{(U)}=-i\varphi^\ast\omega$, gültig in$U$. Seit$\omega$ist ein Pseudotensorium$1$-Form des Typs$\text{Ad}$An$P$, passen diese Pullbacks in überlappenden Nachbarschaften nicht in ein wohldefiniertes globales Objekt$M$. Im Wesentlichen verwenden$A$ist dasselbe wie verwenden$\omega^a_{\ b}$(die Verbindungsformen) in GR. Beachte das auch so$A$ist global wohldefiniert genau dann, wenn$P$lässt globale Abschnitte zu.

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Abgesehen davon gibt es mehrere Ansätze, um die Einstein-Hilbert-Aktion auf "invariante" Weise zu variieren.

Der globale geometrische Ansatz:

Die größte Schwierigkeit besteht darin, die Variation des Volumenelements abzuleiten$đ\mu=\sqrt{-g}d^4x$. Am einfachsten ist es natürlich, in lokale Koordinaten zu expandieren, aber das wollen wir vorerst vermeiden. Abgesehen davon, dass man direkt an einem Faserbündel arbeitet, muss man hier meiner Meinung nach mindestens Frames verwenden.

Ein Grund, warum Sie hier Frames verwenden müssen, ist, dass eine Differentialform verschwindet, wenn Sie linear abhängige Vektoren in sie einspeisen. Also wenn$đ\mu$ist eine Volumenform, und$X_1,...,X_n$sind dann Vektorfelder

$$đ\mu(X_1,...,X_n)\neq 0\Leftrightarrow X_1,...,X_n\ \text{is a linearly independent set.}$$ Aber wenn diese$n$Vektorfelder linear unabhängig sind, dann bilden sie im Wesentlichen einen Rahmen.

Das Beste, was wir tun können, ist, Frames zu verwenden, aber nur "passiv". Z.B. die Volumenform wird nicht über den Rahmen definiert, aber der Rahmen wird verwendet, um Beziehungen abzuleiten.

Wir wissen, dass wenn$\Omega$ist beliebig$n$-Form und$đ\mu$eine Volumenform ist, dann gibt es eine Funktion$\alpha$so dass

$$\Omega=\alpha\ đ\mu,$$ insbesondere seit der Variation von$đ\mu$ist ein$n$-Form, es gibt eine$\alpha$so dass $$\delta đ\mu=\alpha đ\mu.$$

Wenn$(e_1,...,e_n)$ein positiv orientiertes Orthonormalsystem ist, dann haben wir$đ\mu(e_1,...,e_n)=1$, also haben wir

$$\alpha=(\delta đ\mu)(e_1,...,e_n).$$

Obwohl dies nicht der strengste Ansatz ist, ist es nicht unmoralisch oder falsch, dies zu erhalten, indem man eine Taylor-Entwicklung erster Ordnung betrachtet. Lassen$g_\epsilon$sei eine Metrikfamilie mit einem Parameter,$đ\mu_\epsilon$die entsprechende 1-Parameter-Familie von Volumenformen und$e_a^\epsilon$die entsprechende 1-Parameter-Familie orthonormaler Rahmen.

Wir haben$g_\epsilon(e^\epsilon_a,e^\epsilon_b)=\eta_{ab}$für alle$\epsilon$, also die$\epsilon$-Ableitung bei$0$Ist

$$0= \delta g(e_a,e_b)+2g(\delta e_a,e_b).$$ Seit der$e_b$Basisvektoren sind, haben wir $$g(\delta e_a,\bullet)=-\frac{1}{2}\delta g(e_a,\bullet),$$ So $$\delta e_a=-\frac{1}{2}\delta g(e_a,\bullet)^\sharp,$$ Wo$\sharp$ist "Erhöhen eines Index". In Indexschreibweise ist dieses Ergebnis$\delta e^\mu_a=\delta g_{\nu}^{\ \mu}e^\nu_a$. Offensichtlich ist dieser Ausdruck linear in$e_a$, also lasst uns definieren$A(e_a)=\delta g(e_a,\bullet)^\sharp$diese lineare Karte sein.

Nun, das wissen wir

$$1=đ\mu_\epsilon(e_1^\epsilon,...,e^\epsilon_n)$$ für alle $\epsilon$S. Differenzieren wir bei$\epsilon=0$, wir erhalten $$0=(\deltađ\mu)(e_1...e_n)+đ\mu(\delta e_1,...,e_n)+...+đ\mu(e_1,...,\delta e_n).$$ Ich persönlich finde die Bewertung der anderen Begriffe als des ersten (den wir zum Ausdruck bringen möchten) schwierig, also anstatt direkt zu differenzieren$\epsilon=0$, erweitern wir in einer abgeschnittenen Taylor-Reihe. Zur Erstbestellung$\epsilon$, wir haben $$e_a^\epsilon=e_a+\epsilon A(e_a)=(1+\epsilon A)e_a,$$ Also erstmal bestellen$\epsilon$wir haben auch $$1=đ\mu_\epsilon(e^\epsilon_1,...,e^\epsilon_n)=đ\mu_\epsilon(e_1,...,e_n)\det(1+\epsilon A)=đ\mu_\epsilon(e_1...e_n)(1+\epsilon\text{Tr}A)\\ =(1+\epsilon\alpha)đ\mu(e_1...e_n)(1+\epsilon\text{Tr}A)=(1+\epsilon \alpha)(1+\epsilon\text{Tr}A)=1+\epsilon(\alpha+\text{Tr}A)+O(\epsilon^2),$$ so erhalten wir $$\alpha=-\text{Tr}A=\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g=-\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g^\ast,$$ Wo$\text{Tr}_g$ist die metrische Spur (z.$h_{\mu\nu}\mapsto h_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$), Und$g^\ast$ist die inverse/duale Metrik. Wir haben die wohlbekannte Beziehung verwendet, dass die Variationen der direkten und der inversen Metrik voneinander negativ sind.

Damit haben wir das einigermaßen unveränderlich erhalten

$$\delta đ\mu=-\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g^\ast đ\mu=-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}_\ast đ\mu.$$

Für den Rest der Ableitung werde ich die abstrakte Indexnotation verwenden , die global und koordinatenfrei ist.

Wir wissen das (siehe Wald - Allgemeine Relativitätstheorie für eine Herleitung), wenn$\nabla^\prime$Und$\nabla$sind zwei lineare Verbindungen, mit Differenztensor$C:\ \nabla^\prime=\nabla+C$, dann sind die entsprechenden Krümmungstensoren wie verwandt

$$R^{\prime\rho}_{\ \sigma\mu\nu}=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}+2\nabla_{[\mu} C^\rho_{\nu]\sigma}+2C_{[\mu|\lambda|}^{\rho}C^\lambda_{\nu]\sigma}.$$

Lassen Sie insbesondere$\nabla^\epsilon$sei die 1-Parameter-Familie von Levi-Civita-Verbindungen, die durch die 1-Parameter-Familie von Metriken induziert wird, und$C^\epsilon$sei die 1-Parameter-Familie von Differenztensoren zwischen$\nabla^\epsilon$und die ungestörte LC-Verbindung. Dann

$$\delta\nabla=\frac{d}{d\epsilon}\nabla^\epsilon\ |_{\epsilon=0}=\frac{d}{d\epsilon}\left(\nabla+C^\epsilon\right)_{\epsilon=0}=\frac{d}{d\epsilon}C^\epsilon |_{\epsilon=0}\equiv\delta\Gamma,$$ und das$\epsilon$-Familie der Krümmungstensoren ist $$(R^{\epsilon}){}^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}+2\nabla_{[\mu}(C^\epsilon)^\rho_{\nu]\sigma}+2(C^\epsilon)^\rho_{[\mu|\lambda|}(C^\epsilon)^\lambda_{\nu]\sigma},$$ So $$\delta R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=\nabla_\mu\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\nabla_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma}.$$

Damit haben wir die Berechnung der Variationen von Verbindung, Krümmungstensor und Volumenform gelöst, ohne lokale Koordinaten- oder Rahmenerweiterungen zu verwenden. Die restlichen Daten können Sie selbst ausfüllen.

Weiterlesen:

"Besse: Einstein-Verteiler".

Dies ist besonders empfehlenswert, wenn Sie Indizes wirklich hassen, da Besse keine abstrakte Indexnotation verwendet, sondern die Standardnotation der Mathematiker. Die Variation der Volumenform leitet er jedoch nicht her, sondern überlässt sie dem Leser nur als Übung. Relevante Abschnitte sind Kapitel 1 - K: Erste Variationen von Krümmungstensorfeldern und Kapitel 4 - C: Totale skalare Krümmung: Eigenschaften erster Ordnung .

Orthonormaler Frame-Ansatz:

Dies wurde in der Antwort von Arnold Neumaier behandelt, und dies ist der Ansatz, der Ihrem elektrodynamischen Beispiel im Geiste am nächsten kommt. Ich möchte nur eines anmerken: Wenn wir wünschen, dass das Anfangswertproblem in GR wohldefiniert ist, wollen wir, dass die Raumzeit global hyperbolisch ist, was dies topologisch impliziert$M=\mathbb R\times\Sigma$. Seit$\mathbb R$ist parallelisierbar, die Parallelisierbarkeit von$M$hängt davon ab, ob die 3-Mannigfaltigkeit$\Sigma$parallelisierbar ist oder nicht.

Aus physikalischen Gründen möchten wir, dass der Raum orientierbar ist$\Sigma$sollte orientierbar sein. Es ist jedoch bekannt, dass jede orientierbare 3-Mannigfaltigkeit parallelisierbar ist. Wenn also diese physikalisch vernünftigen Anforderungen erfüllt sind, dann sind 4-dimensionale Raumzeiten parallelisierbar.

Daher sind diese auf orthonormalen Frames basierenden Ansätze für GR tatsächlich global!

Weiterlesen:

„Thirring: Kurs zur Mathematischen Physik Band 2“

"Straumann: Allgemeine Relativitätstheorie"

Bücher der Loop Quantum Gravity-Crowd wie Thiemann, Rovelli, Gambini usw. neigen ebenfalls dazu, das Wirkprinzip für GR über orthonormale Rahmen zu behandeln.

Hauptbündelansatz:

Sie können jedes Tensorfeld (on$M$) als eine bestimmte Reihe von Funktionen auf dem Frame-Bundle von$M$die bestimmte Äquivarianzeigenschaften erfüllen.

Beispielsweise ist in den üblichen, framebasierten Ansätzen ein Vektorfeld so etwas wie$V^a(x)$. Aber diese Komponenten hängen nicht nur vom Verteilerpunkt ab$x$sondern auch auf einem gewählten Rahmen$x$. Also diese$V^a$sind eigentlich Funktionen auf dem Frame-Bundle:

$$V^a(x,e),$$ wo Punkte des Rahmenbündels$F(M)\rightarrow M$werden als Paare bezeichnet$(x,e)$, Wo$e$ist ein Rahmen bei$x$.

Diese Funktionen definieren ein Vektorfeld genau dann, wenn for any$\Lambda\in\text{GL}(n,\mathbb R)$, Wir haben das

$$V^a(x,e\Lambda)=(\Lambda^{-1})^a_{\ b}V^b(x,e)$$ Äquivarianz Eigenschaft. Ähnlich für andere Tensorfelder.

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Funktionen trotz der Indizes und Komponenten global und vollständig invariant sind .

Man kann einen Tensorkalkül auf dem Rahmenbündel entwickeln, der im Wesentlichen den üblichen indexbasierten lokalen Tensorkalkül auf der Basismannigfaltigkeit widerspiegelt, aber global und völlig unabhängig von Rahmen und Koordinaten ist.

Weiterlesen:

"David Bleecker: Eichtheorie und Variationsprinzipien"

Dieses Buch behandelt Eichtheorien, Gravitation und Eichtheorien + Gravitation in einer völlig invarianten und mathematisch präzisen Weise unter Verwendung von Hauptfaserbündeln, Wirkprinzipien eingeschlossen.

Gibt es eine ähnliche vollständig kovariante und koordinatenunabhängige Ableitung der Einstein-Feldgleichungen aus der Einstein-Hilbert-Wirkung?

Ja. Eine kovariante, koordinatenfreie aktionsbasierte Ableitung ist beispielsweise in Kapitel 4.2 des Lehrbuchs angegeben

W. Thirring, Course on Mathematical Physics, Band 2 , Klassische Feldtheorie, Springer, New York 1978.

Die Herleitung ist elementar: Einfach jedes Feld durch Feld+Variation ersetzen, die Terme erster Ordnung in der Variation herausarbeiten, partiell integrieren und die Bewegungsgleichungen ablesen. Jeder Schritt ist elementar, kovariant und koordinatenfrei, daher ist die gesamte Ableitung.