Energie-Impuls-Tensor aus Matter Field Action

Question

Energie-Impuls-Tensor aus Matter Field Action

Physik
Konventionen
generelle Relativität
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Stress-Energie-Impuls-Tensor

Ritterboot

Ich bin gerade dabei, mich mit einigen grundlegenden Konzepten der Allgemeinen Relativitätstheorie vertraut zu machen, und bin dabei auf ein wahrscheinlich recht einfaches Problem gestoßen. Ich beziehe mich auf das Buch von Hobson, S. 541 und 548, wo der Energie-Impuls-Tensor für eine einfache Materiefeldwirkung steht $S$ ,

T_{μ v} = \frac{2}{\sqrt{- det G}} \frac{δ S}{δ G^{μ v}},

$T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-\det g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}},$ wird als Beispiel berechnet:

S = \int D^{4} X \sqrt{- det G} (\frac{1}{2} G^{μ v} (\nabla_{μ} Φ) (\nabla_{v} Φ) - v (Φ))

$S = \int d^4x\sqrt{-\det g}(\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi)-V(\Phi))$

δ (det G) = det G^{μ v} δ G_{μ v} = - det G G_{μ v} δ G^{μ v} \Rightarrow δ \sqrt{- det G} = - \frac{1}{2} \sqrt{- det G} G_{μ v} δ G^{μ v}

$\delta(\det g) = \det g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = -\det g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} \Rightarrow \delta\sqrt{-\det g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-\det g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$

\begin{array}{rcl} δ S & = & \int D^{4} X [\sqrt{- det G} \frac{1}{2} δ G^{μ v} (\nabla_{μ} Φ) (\nabla_{v} Φ) + δ (\sqrt{- det G}) (\frac{1}{2} G^{a β} (\nabla_{a} Φ) (\nabla_{β} Φ) - v (Φ))] \\ = & \int D^{4} X \sqrt{- det G} \frac{1}{2} [(\nabla_{μ} Φ) (\nabla_{v} Φ) - G_{μ v} (\frac{1}{2} G^{a β} (\nabla_{a} Φ) (\nabla_{β} Φ) - v (Φ))] δ G^{μ v} \end{array}

$\begin{eqnarray} \delta S &=& \int d^4x[\sqrt{-\det g}\frac{1}{2}\delta g^{\mu\nu}(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi) + \delta(\sqrt{-\det g})(\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}(\nabla_\alpha \Phi)(\nabla_\beta \Phi)-V(\Phi))] \\ &=& \int d^4x\sqrt{-\det g}\frac{1}{2}[(\nabla_\mu \Phi)(\nabla_\nu \Phi) -g_{\mu\nu}(\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}(\nabla_\alpha \Phi)(\nabla_\beta \Phi)-V(\Phi))]\delta g^{\mu\nu} \end{eqnarray}$

und man hat $T_{\mu\nu} = [...]_{\mu\nu}$

Mein Problem ist jetzt: wenn ich rechne

T^{μ v} = \frac{2}{\sqrt{- det G}} \frac{δ S}{δ G_{μ v}}

$T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-\det g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$ auf die gleiche Weise verwenden Sie den ersten Begriff für

δ \sqrt{- det g}

$\delta\sqrt{-\det g}$ Anstelle des zweiten finde ich den gleichen Begriff für

T

$T$ wie zuvor (mit den Indizes natürlich nach oben), aber mit einem Plus statt einem Minus zwischen dem Ableitungsterm und dem Lagrange-Term in

T

$T$ .

Aber das ist falsch, oder? Also was mache ich falsch?

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Energie-Impuls-Tensor aus Matter Field Action

QMechaniker · Answer 1

Es scheint, dass die Frage von OP in der Tatsache verwurzelt ist, dass unendlich kleine Variationen der inversen Metrik auftreten

δ G^{μ v} = - G^{μ λ} δ G_{λ κ} G^{κ v}

$\delta g^{\mu\nu}~=~-g^{\mu\lambda} ~\delta g_{\lambda\kappa} ~g^{\kappa\nu}$

kommt mit einem Minus. Daher wird der Stress-Energie-Impuls (SEM)-Tensor mit oberen und unteren Indizes mit entgegengesetzten Vorzeichen definiert. Sie sind definiert als

T^{μ v} = \mp \frac{2}{\sqrt{| G |}} \frac{δ S}{δ G_{μ v}}, T_{μ v} = \pm \frac{2}{\sqrt{| G |}} \frac{δ S}{δ G^{μ v}},

$T^{\mu\nu}~=~\mp \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad T_{\mu\nu}~=~\pm \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}},$ im

(\pm, \mp, \mp, \mp)

$(\pm,\mp,\mp,\mp)$ Minkowski-Signaturkonvention, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag.

Wenn dies der Fall ist, wird der Spannungsenergietensor der oberen Indizes nicht aus den unteren Indizes unter Verwendung von metrischen Tensor-Rasing-Indizes erhalten. Gibt es eine Bedeutung zu sagen, dass es ein Tenso ist?
Es ist ein Tensor, und $T^{\mu\nu}=g^{\nu\lambda}T_{\lambda\kappa}g^{\kappa\nu}$ hält noch.
Für die einfachste Aktion $- \frac{1}{2} \int D^{4} X \sqrt{| G |} G^{a β} \partial_{a} ϕ \partial_{β} ϕ,$ $-\frac{1}{2}\int d^4x \sqrt{|g|}g^{\alpha\beta}\partial_\alpha \phi \partial_\beta \phi ,$ Es scheint keine solche Beziehung zu geben, wie Sie oben schreiben.
Unter Verwendung der Definition $T_{a β} = \partial_{a} ϕ \partial_{β} ϕ + G_{a β} L_{M}$ $T_{\alpha\beta}=\partial_\alpha \phi \partial_\beta \phi +g_{\alpha\beta} L_M$ Und $T^{a β} = - \partial^{a} ϕ \partial^{β} ϕ + G^{a β} L_{M}$ $T^{\alpha\beta}=-\partial^\alpha \phi \partial^\beta \phi +g^{\alpha\beta} L_M$
Für die Aufzeichnung impliziert das Vorzeichen in Ihrer Skalaraktion, dass Sie die verwenden $(-,+,+,+)$ Konvention unterzeichnen. Dann $T_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi -\frac{1}{2}g_{\mu\nu} \partial_{\lambda}\phi \partial^{\lambda}\phi$ Und $T^{\mu\nu}=\partial^{\mu}\phi\partial^{\nu}\phi -\frac{1}{2}g^{\mu\nu} \partial_{\lambda}\phi \partial^{\lambda}\phi$ .
Erinnere dich daran $L_M=-\frac{1}{2}g_{\alpha\beta}\partial^\alpha \phi \partial^\beta \phi$
$\phi$ würde sich je nach deiner Situation ändern, richtig?

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Ritterboot

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