Spannungs-Energie-Tensor für Staub

Zusammenfassung: Ich finde zwei verschiedene Ausdrücke für den EM-Tensor für Staub, und beide Ableitungen scheinen mir richtig zu sein.

Angesichts der Wirkung für ein Staubsystem

$$S =-\sum m_q \int \sqrt{g_{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}^\mu_q(\lambda)\dot{x}^\nu_q(\lambda)} d\lambda,$$ wo ich die verwende$(+,-,-,-)$Konvention unterzeichnen. Der Energie-Impuls-Tensor (EMT) wird durch die Variation der Metrik definiert

$$\delta S = \frac{1}{2}\int T_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} \sqrt{g} d^4x.$$

Um das zu berechnen, verwende ich zwei verschiedene Ansätze, erstens einen, weil ich variieren möchte$g^{\mu\nu}$Ich finde es besser zu schreiben$S =-\sum m_q \int \sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)} d\lambda$. Dann

$$\delta S = -\sum m_q \int \frac{\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{2\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda.$$

Und multipliziert mit$1=\int \delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g}} d^4x$

$$\delta S = -\frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

Geben

$$T_{\mu\nu} = -\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} d\lambda.$$

Der zweite Ansatz besteht darin, die Variation zu tun$g_{\mu\nu}$, mache genau die gleichen Schritte, die ich bekomme

$$\delta S = -\frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}^\mu_{q}(\lambda)\dot{x}_{q}^\nu(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g_{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q}^\mu(\lambda)\dot{x}_{q}^\nu(\lambda)}} \delta g_{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

Nun, weil$0=\delta(g_{\mu\nu}g^{\nu\lambda})$Wir müssen haben$\delta g_{\mu\nu} = -g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\delta g^{\alpha\beta}$so finde ich

$$\delta S = \frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

EMT gleich geben, aber mit negativem Vorzeichen. Das zweite scheint besser zu sein, weil es eine nach unten begrenzte Energiedichte gibt, während das erste nicht, aber ich sehe keinen Fehler. Da die beiden Ableitungen so ähnlich sind, glaube ich außerdem nicht, dass ein algebraischer Fehler einen solchen Unterschied erklären kann, also muss der Fehler ein konzeptioneller sein.