Variation der Dirac-Aktion mit Differentialformen

Die Dirac-Aktion in einer gekrümmten Raumzeit kann in Bezug auf das Vierbein geschrieben werden { e A } und Spinverbindung { ω A B } differentielle Formen. Lassen Sie das Spinorfeld ψ als spinorwertig interpretiert werden 0 -Form und definieren die 1 -form γ = γ A e A , Wo { γ A } sind die Gammamatrizen. Die Spinor-kovariante Ableitung ist gegeben durch

D ψ = D ψ + 1 4 ω A B [ γ A , γ B ] ψ

Die standardmäßige Dirac-Aktion nimmt die Form an

ICH = − ich ∫ M ψ ¯ γ ∧ ∗ D ψ

Wo ∗ ist der duale Hodge-Operator. Nun möchte ich diese Aktion in Bezug auf das Schleierbein variieren. Im Anhang dieses Buches behauptet Gleichung (A.115), dass die Variation der Wirkung in Bezug auf das Schleierbein gegeben ist durch

δ ICH = ∫ M ich ψ ¯ γ A ∗ D ψ ∧ δ e A

aber das kann ich nicht zeigen. Hier mein Versuch

δ ICH = − ich ∫ M ψ ¯ δ γ ∧ ∗ D ψ + ψ ¯ γ ∧ δ ( ∗ D ψ ) = − ich ∫ M ψ ¯ γ A δ e A ∧ ∗ D ψ + ψ ¯ γ ∧ δ ( ∗ D ψ )

wobei ich die Gammamatrizen angenommen habe { γ A } , obwohl sie einen Veilbein-Index haben, sind daher von der Variation nicht betroffen δ γ = δ ( γ A e A ) = γ A δ e A . Der erste Term, zu dem ich umordnen kann

ich ∫ M ψ ¯ γ A ∗ D ψ ∧ δ e A

wo ich gerade die Reihenfolge des Keilprodukts umgekehrt habe und ein Minuszeichen aufgreife. Dies gibt mir die Variation, die der Autor behauptet, aber ich muss mich noch mit dem zweiten Teil befassen. Darin ist der Begriff enthalten δ ( ∗ D ψ ) . Ich weiß, dass das Hodge-Dual vom Schleierbein abhängen sollte, weil der Autor diese Tatsache in Gleichung (A.107) verwendet hat, damit diese Variation im Allgemeinen nicht verschwindet. Ich bin mir unsicher, wie ich das bewerten soll. Am liebsten würde ich es verschwinden lassen.

Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Kannst du bitte den Namen des Buches schreiben?
@ Matt0410, versuche zu ersetzen γ ∧ ∗ mit γ ∧ γ ∧ γ ∧ .

Antworten (1)

Wenn Sie eine verschwindende Torsion haben, können Sie meiner Meinung nach den folgenden Trick anwenden:

ψ ¯ γ ∧ δ ( ∗ D ψ ) = ψ ¯ γ A D ψ ∧ δ ∗ e A = ψ ¯ γ A D ψ ∧ δ e B ∧ ∗ ( e A ∧ e B )
Seit D Und δ pendeln (plus verschwindende Torsionsbedingung) ist dieser Term eine totale Ableitung, weil D δ e A = 0 = D ∗ ( e A ∧ e B ) . Damit dies sinnvoll ist, müssen die Indizes natürlich Lorentz-Indizes sein (dh Frame-Indizes, keine Koordinatenindizes), damit der Hodge-Operator mit der eta-Metrik zusammenhängt, was bedeutet, dass D ϵ A B C D = 0 . Ich habe dafür einfach die Symmetrie des Hodge-Produkts ausgenutzt.

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