Hermitizität des Dirac-Operators in gekrümmter Raumzeit

Die Dirac-Lagrange-Funktion in gekrümmter Raumzeit ist normalerweise gegeben durch

L = ich Ψ ¯ γ A e A μ ( ∂ μ + 1 4 ω μ B C γ B γ C ) Ψ
Gemäß Nakaharas "Geometry, Topology and Physics" Abschnitt 7.10.3. dieser Lagrange ist nicht hermitesch, aber wir können dies in hermitescher Form umschreiben als
L ' = 1 2 ( L + L † ) = ich Ψ ¯ γ A e A μ ∂ ↔ Ψ + 1 4 e A μ ω μ B C Ψ ¯ { γ A , γ B C } Ψ
bis zur Gesamtableitung. Ich kann sehen, warum dies für den abgeleiteten Term gilt, aber ich kann wirklich nicht sehen, wie dies für den zweiten Term gemacht werden kann. Ich versuche zu pendeln γ A mit γ B C = 1 2 [ γ B , γ C ] irgendwie, wenn B , C ≠ A dann ist das einfach { γ A , γ B C } = γ A γ B C und der zweite Term wird wiederhergestellt. Aber das Problem ist, wenn A = B ≠ C Dann { γ A , γ B C } = 0 . Ich sehe nicht, wie wir einen Begriff wie wiederherstellen können e A μ ω μ A C γ A γ A γ C im ursprünglichen Lagrange (keine Summierung in A ). Also meine Frage ist:

  • Wie zeige ich, dass die beiden Lagrange gleich sind? (oder äquivalent, wie zeige ich das L = L † bis zur Gesamtableitung).
  • Wenn L Und L ' sind nicht gleich bis zur totalen Ableitung (dh ein weiterer Tippfehler in Nakahara). Welches verwende ich dann als Lagrange für Spin-1/2-Teilchen in gekrümmter Raumzeit? Ich habe Leute gesehen, die die erste verwenden, die auch die Dirac-Gleichung in einer Quelle wie Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation_in_curved_spacetime reproduziert . An Orten wie Freedmans "Supergravity"-Gleichung (9.1) wurde die Lagrange-Funktion ohne Umschreibung in hermitescher Form verwendet. Oder zum Beispiel in http://arxiv.org/abs/hep-th/0604198 .

Das hatte ich gehofft e B μ ω μ B C = ω B B C wäre 0 durch einige antisymmetrische Eigenschaften von ω . Aber das stimmt anscheinend nicht, nur die letzten beiden Indizes von ω sind antisymmetrisch. Meine Vermutung ist, dass es einen Grund gibt, warum diese beiden Lagrangians letztendlich dieselbe Feldtheorie liefern, aber ich verstehe einfach nicht, warum. Könnte mir das bitte jemand erklären?

Übrigens, tut mir leid, wenn diese Frage dem Dirac-Operator in gekrümmter Raumzeit in 2 Dimensionen sehr ähnlich zu sein scheint – hermitesch? . Ich habe diesen Eintrag gelesen, aber es scheint zu beunruhigen, warum wir ihn in hermitianischer Form umschreiben sollten, nicht wie. Ich kann diese Frage auch nicht kommentieren, weil mein Ruf ist < 50 scheinbar.

Antworten (1)

Kommentare zur Frage (v3):

  1. Beachten Sie, dass die Gammamatrizen kovariant konserviert sind 1

    (1) ∇ μ γ C   =   ω μ C B γ B + 1 4 ω μ A B [ γ A B , γ C ]   =   0 , ∇ μ γ v   =   0 ,
    vgl. zB Art.-Nr. 1.

  2. Betrachten Sie den Vektorstrom

    (2) J μ   :=   ψ ¯ γ μ ψ ,
    Wo ψ ist ein Dirac-Spinor.

  3. Die Divergenz des Vektorfeldes (2) ist

    (3) D ich v e J   =   e − 1 D μ ( e J μ )   =   ∇ μ J μ   = ( 1 )   ψ ¯ ( ∇ μ ← γ μ + γ μ ∇ μ ) ψ .

  4. Definieren Sie nun die Lagrange-Dichte

    (4) L   :=   ich e ψ ¯ γ μ ∇ μ ψ ,
    und die offensichtlich reale Lagrange-Dichte
    (5) L '   :=   1 2 L + C . C .   =   ich e 2 ψ ¯ ( γ μ ∇ μ − ∇ μ ← γ μ ) ψ .

  5. Die Differenz ist eine totale Raum-Zeit-Ableitung

    (6) L − L '   =   ich e 2 ψ ¯ ( ∇ μ ← γ μ + γ μ ∇ μ ) ψ   = ( 3 )   D μ ( ich e 2 J μ ) ,
    also die Euler-Lagrange-Gleichungen. für L Und L ' sind gleich.

Verweise:

  1. DZ Freedman & A. Van Proeyen, SUGRA, 2012; Gl. (8.37) p. 180 Übung 8.12.

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1 Ich verwende die gleiche Notation und Konventionen wie in meiner Phys.SE-Antwort hier .

Vielen Dank. Das habe ich total vergessen ∇ μ γ v = 0
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