Das Hauptziel des Tetradenformalismus ist die Anwendung des Wirkungsprinzips in der allgemeinen Relativitätstheorie. Aber warum die allgemeine Relativitätstheorie in die Feldtheorie von Teilchen mit halbzahligem Spin integrieren?
Einerseits können Materiefelder mit ganzzahligem Spin über den metrischen Tensor (und die Levi-Civita-Verbindung) an die Gravitation gekoppelt werden, ohne ein Vielbein (auch bekannt als ein Vierbein oder eine Tetrade in 4D) zu verwenden.
Andererseits benötigen Materiefelder mit halbzahligem Spin ein Vielbein, um geometrisch kovariant mit der Gravitation zu interagieren. Geometrisch liefert uns ein Vielbein einen pseudo-orthonormalen Rahmen in jedem Raumzeitpunkt.
Das Problem ist, dass ein Feld mit halbem Spin ein Spinor ist und daher einen Spinor-Index trägt. Um einen kovarianten kinetischen Term für einen Spinor aufzuschreiben, benötigen wir eine kovariante Ableitung eines Spinors und damit eine Spinverbindung . Wir brauchen auch eine Darstellung der Clifford-Algebra, also Gamma-Matrizen. Um zwischen gekrümmten und flachen Indizes auf den Gammamatrizen umzuwandeln, benötigen wir außerdem ein vielbein. Siehe zB Gl. (1) in meiner Phys.SE-Antwort hier für explizite Formeln.
Es gibt eine ähnliche Geschichte für Felder mit einem höheren halbzahligen Spin, wie z. B. einem Rarita-Schwinger -Spin Feld.
Das Hauptziel des Tetradenformalismus ist die Anwendung des Wirkungsprinzips in der allgemeinen Relativitätstheorie.
Nun, das Aktionsprinzip in der Allgemeinen Relativitätstheorie braucht den Tetraden-Formalismus nicht. Dies ist ein physikalisch-mathematisches Nebenprodukt des Prinzips der lokalen Kovarianz, dh in der Nähe eines beliebigen Punktes der gekrümmten Raumzeit gelten die Gesetze der speziellen Relativitätstheorie. Mit anderen Worten, für kleine Krümmungen können wir den metrischen Tensor manchmal als eine Störung um die Minkowski-Raumzeit herum betrachten. Dies beinhaltet die Möglichkeit, Spinoren lokal zu verwenden, wie unten erläutert.
Aber warum die allgemeine Relativitätstheorie in die Feldtheorie von Teilchen mit halbzahligem Spin integrieren?
Um die Theorie von https://en.wikipedia.org/wiki/Supergravity zu lernen , braucht man zwei Schritte. Die erste besteht darin, GR in eine semiklassische Theorie zu "deformieren", dh die Möglichkeit zuzulassen, dass die Materie in GR auch fermionisch ist (über die reguläre "klassische QFT"). Dazu muss man das Prinzip der lokalen Kovarianz anwenden, um einen Übergang von gekrümmter Raumzeit zu flachen Nachbarschaften zu ermöglichen. Auf diese Weise können "klassische" Spinoren (Dirac oder Weyl) ins Bild kommen und man kann ihre Dynamik auf gekrümmten Raumzeiten studieren. Der zweite Schritt besteht darin, Supersymmetrie zuzulassen, dh die Möglichkeit, dass die durch die lokale Kovarianz erlaubte lokale Poincaré/Lorentz-Symmetrie zu einer generischen Supersymmetrie-Algebra erweitert wird.
Hari