Ein Spinorfeld an ein bereits vorhandenes Skalarfeld koppeln?

Question

Ein Spinorfeld an ein bereits vorhandenes Skalarfeld koppeln?

Brian Klatt

Ich bin also kein Physiker, aber ich denke über ein mathematisches Problem nach, bei dem ich denke, dass physikalische Erkenntnisse nützlich sein könnten.

Wir arbeiten an einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $(M,g)$ (positiv definite Metrik) mit einer ausgezeichneten glatten Funktion $f$ . Die Metrik und die glatte Funktion hängen durch eine Tensorgleichung zusammen

R C (G) + \nabla^{2} F = \frac{1}{2} G

$Rc(g)+\nabla^2f=\displaystyle\frac{1}{2}g$ (Der zweite Summand ist das Hessische bezüglich der Levi-Civita-Verbindung.)

Ich möchte Spinorfelder studieren $\psi$ die eine Art Dirac-Gleichung lösen, aber irgendwie diese Funktion beinhalten $f$ . (Ist es angemessen zu sagen, ich möchte "koppeln" $\psi$ Und $f$ ?) Ich dachte, vielleicht hätten Physiker über solche Dinge nachgedacht und könnten Einsichten haben.

Also meine Frage: Gibt es natürliche Gleichungen (aus einem Physik-POV), für die man sich aufschreiben kann? $\psi$ das beinhaltet $f$ ?

Mir ist die Yukawa-Wechselwirkung bekannt (danke Google), die ein Lagrangian ist, den Sie für unbestimmte Skalar- und Materiefelder aufschreiben können, aber in diesem Fall ist das Skalarfeld im Voraus festgelegt, daher weiß ich nicht, wie das aussieht In.

Alle Gedanken sind willkommen.

Robin Ekmann

Sie können die Yukawa-Wechselwirkung auch dann aufschreiben, wenn das Skalarfeld eine feste Funktion ist.

Lubos Motl

Es gibt keinen Sinn, in dem die Yukawa-Wechselwirkung ein "festes" Skalarfeld benötigt. (Robin hat seinen Kommentar 3 Sekunden vor meinem gepostet. Dieser Satz wurde bearbeitet und später in meinen Kommentar eingefügt.)

Brian Klatt

Natürlich hast du recht. Vielleicht hätte ich mehr von der Geschichte erzählen sollen. Was mich überhaupt an der Yukawa-Wechselwirkung interessierte, war die Euler-Lagrange-Gleichung, die aus dem Variieren stammt

ϕ

$\phi$ (Notation siehe Wiki-Artikel). Es sieht aus wie

Δ ϕ + ϕ = g \bar{ψ} ψ = g | ψ |^{2}

$\Delta\phi +\phi=g\bar{\psi}\psi=g|\psi|^2$ , Aber

ϕ = f - 2

$\phi=f-2$ von oben ist bekanntlich befriedigend

Δ ϕ + ϕ = | \nabla ϕ |^{2}

$\Delta\phi +\phi=|\nabla\phi|^2$ . Also dachte ich, ich könnte vielleicht verlinken

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ Zu

| \nabla ϕ |^{2}

$|\nabla\phi|^2$ , was für meine Forschung möglicherweise interessant wäre. Aber das kommt vom Variieren

ϕ

$\phi$ Und

f

$f$ ist oben behoben, also versuche ich herauszufinden, ob es ...

Brian Klatt

... etwas daraus gemacht werden kann (möglicherweise durch eine Modifikation) oder ob dieser Gedankengang zum Scheitern verurteilt ist und ich mit diesem Physik-Zeug über meinen Kopf stecke.

Bob Knighton

Es wäre sehr hilfreich, wenn Sie Ihr Ziel erläutern würden. Warum einen Spinor einführen? Was hoffen Sie zu erreichen? Es ist einfach, eine PDE mit Spinor und Skalar aufzuschreiben – aber welche Eigenschaften erwarten Sie vom Spinor?

Antworten (1)

Ein Spinorfeld an ein bereits vorhandenes Skalarfeld koppeln?

Sie können die Yukawa-Wechselwirkung auch dann aufschreiben, wenn das Skalarfeld eine feste Funktion ist.
Es gibt keinen Sinn, in dem die Yukawa-Wechselwirkung ein "festes" Skalarfeld benötigt. (Robin hat seinen Kommentar 3 Sekunden vor meinem gepostet. Dieser Satz wurde bearbeitet und später in meinen Kommentar eingefügt.)
Natürlich hast du recht. Vielleicht hätte ich mehr von der Geschichte erzählen sollen. Was mich überhaupt an der Yukawa-Wechselwirkung interessierte, war die Euler-Lagrange-Gleichung, die aus dem Variieren stammt $\phi$ (Notation siehe Wiki-Artikel). Es sieht aus wie $\Delta\phi +\phi=g\bar{\psi}\psi=g|\psi|^2$ , Aber $\phi=f-2$ von oben ist bekanntlich befriedigend $\Delta\phi +\phi=|\nabla\phi|^2$ . Also dachte ich, ich könnte vielleicht verlinken $|\psi|^2$ Zu $|\nabla\phi|^2$ , was für meine Forschung möglicherweise interessant wäre. Aber das kommt vom Variieren $\phi$ Und $f$ ist oben behoben, also versuche ich herauszufinden, ob es ...
... etwas daraus gemacht werden kann (möglicherweise durch eine Modifikation) oder ob dieser Gedankengang zum Scheitern verurteilt ist und ich mit diesem Physik-Zeug über meinen Kopf stecke.
Es wäre sehr hilfreich, wenn Sie Ihr Ziel erläutern würden. Warum einen Spinor einführen? Was hoffen Sie zu erreichen? Es ist einfach, eine PDE mit Spinor und Skalar aufzuschreiben – aber welche Eigenschaften erwarten Sie vom Spinor?

Benutzer1504 · Answer 1

Benutzer1504

Ihre erste Gleichung sieht ein bisschen aus wie GR mit einem Dilaton. IIRC, die analogen Gleichungen in der Supergravitation haben natürlich Spinoren, die mit dem Dilaton gekoppelt sind.

Brian Klatt

Entschuldigen Sie meine Unwissenheit, aber was ist IIRC?

Benutzer1504

Wenn ich mich richtig erinnere, in diesem Fall.

Brian Klatt

Irgendeine solide Referenz für mich, um dies zu überprüfen?

Benutzer1504

Ich kann nicht viel anbieten: Keine bestimmte Seite oder Gleichung. Ich denke, ich würde damit beginnen, in eines der kanonischen Lehrbücher der Stringtheorie zu schauen: Green, Schwarz und Witten oder Polchinski. (Oder möglicherweise Weinberg, Band III?) Versuchen Sie, einen Lagrange-Operator zu finden, und berechnen Sie dann seine Euler-Lagrange-Gleichung, und Sie sehen vielleicht so etwas wie das, was Sie wollen.

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Lubos Motl

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Bob Knighton

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