Die Einstein-Hilbert-Aktion auf der Schale

Das ist wahr. Aber meine Frage ist allgemeiner. Angenommen, man betrachtet die Einstein-Hilbert-Maxwell-Aktion. Dann gibt es zwei Bewegungsgleichungen, eine für das metrische und eine für das Eichfeld. Was wäre dann die Form der On-Shell-Aktion?

Dann werden die Bewegungsgleichungen gekoppelt: Aufgrund des Maxwell-Terms ist es keine Vakuumlösung mehr. In diesem Fall wird die EE $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}$und die Maxwell-Gleichungen werden $D_{\mu}F^{\mu\nu}=0$. Betrachten wir beispielsweise nur elektrische Felder in vier Dimensionen, ergibt sich eine Lösung durch die Reissner-Nordstrom-Metrik zusammen mit $A_0=-Q/r+\Phi$, Wo $Q$ist die Ladung des Schwarzen Lochs und $\Phi$ist konstant. Wie sich herausstellt, ist der EM-Tensor in diesem speziellen Fall damit spurlos $R=0$nochmal.

Tatsächlich gilt ein allgemeineres Ergebnis: Der EM-Tensor für Maxwell-Felder ist $T_{\mu\nu}=F_{\mu\rho}F_{\nu}^{\rho}-\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$, so klar $T_{\mu}^{\mu}=0$in vier Dimensionen. Somit $R=0$für die Einstein-Hilbert-Maxwell-Aktion (aber nur in 4 Dimensionen!), so dass Sie nur mit dem On-Shell-Maxwell-Teil übrig bleiben.