Gekrümmte Raumzeitpunktteilchen-Lagrange-Dichte

Ich fand keinen so eleganten Ausdruck wie Ihr Ansatz, aber lassen Sie es mich versuchen. Ein klassischer Lagrange$L\left( t,q^{i},v^{i}\right)$für ein Teilchen ist eine Funktion von sieben Variablen: Zeit$t$, Teilchenkoordinaten$q^{i}$und Geschwindigkeit$v^{i}$(Ich verwende lateinische Bezeichnungen für dreidimensionale Indizes, während griechisch-indizierte Komponenten für 4-Metrik sind). Da wir nur über massive Partikel sprechen werden, kann die Zeit verwendet werden, um die Partikelbahn zu parametrisieren und somit die Aktion zu verwenden

$$\begin{equation}\tag{1} \begin{split} S&=-m\int d\tau\\ &=-m\int\sqrt{g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}\\ &=\int dt\,L, \end{split} \end{equation}$$ finden wir den klassischen Lagrange: $$\begin{equation} \begin{split} L\left( t,q^{i},v^{i}\right) &=-m\frac{d\tau}{dt}\\ &=-m\sqrt{g_{00}\left( t,q\right) +2g_{i0}\left( t,q\right) v^{i}+g_{ij}\left( t,q\right) v^{i}v^{j}}, \end{split} \end{equation}$$ wo ich explizit die Argumente des metrischen Tensors gezeigt habe. Es ist einfach darzustellen $L$als formales 3er-Integral: $$\begin{equation} L\left( t,q^{i},v^{i}\right) =-m\int d^{3}x\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat{x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i} v^{j}}, \end{equation}$$ Wo $g\left( \hat{x}\right) =g\left( t,x\right)$. Daher hat die Aktion (1) die Form: $$\begin{align} S & =-m\int d^{4}x\,\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat{x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i}v^{j}}\\ & =-m\int d^{4}x\sqrt{-g\left( \hat{x}\right) }\,\left\{ \frac{\delta^{( 3)}\left( q^{i} -x^{i}\right)}{\left[ -g\left( \hat{x}\right) \right] ^{1/2}} \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat {x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i}v^{j}}\right\} ,\nonumber \end{align}$$ Wo $g=\det g_{\mu\nu}$. Die seltsame Größe in den geschweiften Klammern oben kann als Lagrange-Dichte bezeichnet werden.

Lassen Sie mich diese Dichte angenehmer darstellen. Zunächst möchte ich ADM-ähnliche Notationen verwenden (ADM steht für Arnowitt, Deser und Misner):

$$\begin{equation} \gamma_{ij}=-g_{ij}+\frac{g_{i0}g_{j0}}{g_{00}},\qquad g_{i}=-\frac{g_{i0} }{g_{00}},\qquad h^{2}=g_{00}, \end{equation}$$ somit hat die Lagrange-Dichte die Form: $$\begin{equation}\tag{2} \mathcal{L}\left( \hat{x},q^{i},v^{i}\right) =\left( \frac{h^{2}} {-g}\right) ^{1/2}\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \left[ \left( 1-g_{i}v^{i}\right) ^{2}-h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}\right] ^{1/2}. \end{equation}$$

Lassen Sie mich die Erklärung mit der Matrix beginnen$\hat{\gamma}$. Angenommen, es gibt zwei Punkte$A$Und$B$getrennt durch$dx$. Wenn Sie ein Lichtsignal von Punkt senden$A$darauf hinweisen$B$und zurück, dann können Sie den räumlichen Abstand definieren$dl$zwischen den beiden Punkten als$cT/2$, Wo$c$ist die Lichtgeschwindigkeit und$T$ist das Zeitintervall zwischen dem Senden und Empfangen von Signalen. Es ist leicht zu zeigen, dass das Element der räumlichen Distanz so definiert ist$dl^{2}=\gamma_{ij} dx^{i}dx^{j}$. Daher der 3-Tensor$\gamma_{ij}$berücksichtigt die räumliche Geometrie. Sie können es als eine Art induzierte 3-Metrik betrachten. In der Tat,$\gamma_{ij}$ist einfach die inverse Matrix des dreidimensionalen \-Teils der kontravarianten Metrik:

$$\begin{equation} -g^{in}\gamma_{nj}=\delta_{j}^{i}, \end{equation}$$ Es ist auch einfach zu zeigen: $$\begin{equation} -g^{in}\gamma_{nj}=\delta_{j}^{i},\qquad-g=g_{00}\gamma,\qquad\Rightarrow \qquad\left( \frac{g_{00}}{-g}\right) ^{1/2}=\gamma^{-1/2}=\sqrt{-\det g^{mn}}. \end{equation}$$ Daher in der Menge $h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}=\gamma_{ij} dq^{i}dq^{j}/(h\,dt)^{2}=\left( \Delta q\right) ^{2}/(h\,dt)^{2}$in der Lagrange-Dichte (2), $\Delta q$ist das reale Element der räumlichen Distanz entlang der Flugbahn des Teilchens.

Die Quantität$\Delta t=h\,dt=\sqrt {g_{00}}dt$definiert die Eigenzeit für den gegebenen Punkt im Raum, dh

$$\begin{equation} \left. d\tau\right\vert_{dx^{i}=0}=g_{00}\,dt, \end{equation}$$ somit $\sqrt{g_{00}}dt$ist das tatsächliche Zeitintervall im mitbewegten Bezugssystem des Teilchens.

Es sieht so aus$\left( \Delta q\right) ^{2}/(h\,dt)^{2}$ist die reale Teilchengeschwindigkeit, die von einem externen Beobachter gemessen werden kann, aber nicht ganz richtig ist. Es gibt auch eine sogenannte Synchronisationskorrektur. Sie ist eng verbunden mit dem Vorgang der Synchronisierung von Uhren, die sich an verschiedenen Orten im Raum befinden. Man kann zeigen (siehe zB Landau, Lifshitz, Bd. II, «Die klassische Feldtheorie»), dass, wenn die Uhren durch das vorbeiziehende Lichtsignal (wie oben betrachtet) synchronisiert werden, das Zeitintervall$dt$im Punkt$A$sollte korrigiert werden durch$\Delta t=-g_{i}dx^{i}$im Punkt$B$. Zum Beispiel, wenn Sie die geschlossene Kontur im Raum mit wählen$g_{i}\neq0$und versuchen, alle Uhren entlang der Kontur zu synchronisieren, finden Sie die Zeitdifferenz, die bei der Rückkehr zum Ausgangspunkt aufgezeichnet werden würde, ist:

$$\begin{equation} \Delta t=-\oint g_{i}dx^{i}. \end{equation}$$

Unter Berücksichtigung des oben Gesagten können wir die Menge definieren

$$\begin{equation} V^{i}=\frac{dq^{i}}{(1-g_{i}v^{i})\sqrt{h}dt}=\frac{dq^{i}}{\sqrt{h}\left( dt-g_{i}dq^{i}\right) }, \end{equation}$$ die entlang der Flugbahn des Teilchens berechnet werden sollte. Deshalb $$\begin{equation} \frac{h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}}{\left( 1-g_{i}v^{i}\right) ^{2}} =\gamma_{ij}V^{i}V^{j}=V^{2} \end{equation}$$ ist das Quadrat der tatsächlichen Partikelgeschwindigkeit, gemessen durch richtig kalibrierte Lineale, und der Eigenzeit, bestimmt durch Uhren, die entlang der Flugbahn des Partikels synchronisiert sind. Schließlich nimmt die Lagrange-Dichte die Form an: $$\begin{equation} \mathcal{L}\left( \hat{x},q^{i},v^{i}\right) =-m\,\sqrt{1-V^{2}}\left[ \gamma^{-1/2}\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \left( 1-g_{i}v^{i}\right) \right] , \end{equation}$$ Wo $\gamma^{-1/2}\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \times\left( 1-g_{i}v^{i}\right)$ist eine korrekt definierte dreidimensionale Delta-Funktion, die von der zeitsynchronisierenden Korrektur geliefert wird.

Die Vorstellung von der Geschwindigkeit$V^{i}$ist sehr nützlich. Angenommen, es gibt eine stationäre Metrik$g_{\mu\nu}\left( x^{i}\right)$(«stationär» bedeutet$g_{\mu\nu}$nicht von der Zeit abhängt), dann ist die Energie des Teilchens, die entlang der Flugbahn erhalten bleibt, wie folgt:

$$\begin{equation} E=\frac{m\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-V^{2}}}. \end{equation}$$

Ihr Lagrange ist fast richtig. Aber Sie müssen auch einen erhaltenen Massenterm verwenden, was beim Massenterm bei Ihrem Lagrange nicht der Fall ist.

Wenn du benutzt:

$$\mathcal{L}_m = \sum_p m_p \gamma_p^{-1}(-g)^{-1/2}\delta^{(3)}(x^j-x^j_p(\tau_p)),$$ Wo $\gamma_p=dx^0/cd\tau_p$der Lorentzfaktor, $u^\mu_p=dx^\mu_p/cd\tau$die 4-Geschwindigkeit des Teilchens (so dass $u^\mu u_\mu=-1$) Und $x^j_p(\tau_p)$die Flugbahn des p-ten Teilchens, dann hast du alles, was du brauchst. In der Tat können Sie direkt berechnen, dass es sich auf reduziert $$S=-\sum_p m_p \int d \tau_p,$$ Wo $m_p$wird konserviert.

Beachten Sie, dass dies eng mit der sogenannten erhaltenen Dichte zusammenhängt$\rho^*$die häufig in praktischen Anwendungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (zB in der Zellmechanik) verwendet wird.$\rho^*=\sqrt{-g} \gamma_p \rho$, Wo$\rho$ist die Dichte, die im Spannungsenergietensor auftritt. Dann hat man die "Newtonsche" Erhaltung der sogenannten Erhaltungsdichte (d.h$\partial_0 \rho^*+\partial_i(\rho^* v^i)=0$, mit$v^i = u^i/\gamma_p$). (Sie können es aus der Erhaltungsgleichung ableiten$\nabla_\sigma(\rho u^\sigma)=0$).