Supersymmetrie-Transformation: Warum transformiert sich die Lagrange-Transformation als totale Ableitung?

Auf Seite 36 dieses Vorlesungsskripts verstehe ich etwas nicht (Autor: Fiorenzo Bastianelli von der Universität Bologna, Titel: Pfadintegrale für Fermionen und supersymmetrische Quantenmechanik.) Ich werde es hier zusammenfassen, aber ich habe es trotzdem verlinkt falls jemand sie überprüfen möchte.

Wir versuchen also, eine supersymmetrische Aktion aufzubauen, wir arbeiten im Superraum$D=1$Und$N=2$mit einer Raumzeitkoordinate$t$und zwei Grassman-Koordinaten$\theta$Und$\bar{\theta}$.

Der Generator der Zeitübersetzung ist

$$H= i \frac{\partial}{\partial t}$$ Die Generatoren der Supersymmetrie-Transformation, das sind Translationen in die gegenläufigen Richtungen, sind $$Q= \frac{\partial}{\partial \theta} + i \bar{\theta} \frac{\partial}{\partial t}$$ Und $$\bar{Q}= \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}} + i \theta \frac{\partial}{\partial t}$$ Wir definieren einen Skalar, Grassman sogar ein Superfeld$X(t,\theta, \bar{\theta})$die sich unter Supersymmetrietransformation auf diese Weise transformiert $$\delta_S X(t,\theta, \bar{\theta}) = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q)\, X(t,\theta, \bar{\theta})$$

Mit$\epsilon$Und$\bar{\epsilon}$Grassmann-Parameter.

Nun definieren wir kovariante Ableitungen

$$D= \frac{\partial}{\partial \theta} - i \bar{\theta} \frac{\partial}{\partial t}$$ $$\bar{D}= \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}} - i \theta \frac{\partial}{\partial t}$$

so dass die kovariante Ableitung eines Superfeldes immer noch ein Superfeld ist, was bedeutet

$$\delta_S DX = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q)\, DX$$

Außer diesen sind alle Kommutatoren und Antikommutatoren null

$$\{ Q,\bar{Q} \} = 2H$$ $$\{D,\bar{D}\} = -2i \partial_t$$

Jetzt sagen wir, dass ein Lagrangeian$L=L(X,DX,\bar{D}X)$das nur implizit von den Koordinaten des Superraums durch das Superfeld und seine kovarianten Ableitungen abhängt, kann Ihnen eine supersymmetrische Wirkung geben. Und das liegt daran, dass es sich unter Supersymmetrietransformation als totale Ableitung transformiert. Die genaue Form der Lagrange-Variation unter Supersymmetrie-Transformation ist diese:

$$\delta_S L(X,DX, \bar{D}X) = (\epsilon \bar{Q} + \bar{\epsilon} Q) \, L(X,DX, \bar{D}X)$$

Was ich jetzt nicht verstehe sind diese beiden:

1. Warum transformiert sich die Lagrange-Transformation bei der Supersymmetrie-Transformation so? Ich kann es nicht beweisen, ich kann auf Anfrage eine Skizze meines Versuchs liefern, seine Transformation auszuarbeiten, aber es tut wirklich nichts, was ich denke.

2. Angenommen, dies ist das richtige Transformationsgesetz der Lagrange-Funktion, warum ist das dann eine totale Ableitung? Es sieht für mich so aus, als würde es sich einfach wie ein Superfeld transformieren, aber ich verstehe nicht, warum das eine totale Ableitung ist.