Superladung in N=1N=1\mathcal{N}=1 supersymmetrischer Quantenmechanik und Satz von Noether

Bedenke die$0+1$dimensionaler Lagrange

$$L=\frac{1}{2}\dot{X}^2(t)+i \psi(t) \dot{\psi}(t).\tag{1.24}$$

Im Wesentlichen ist dies die Lagrange-Funktion eines Teilchens, das sich in einer Dimension bewegt,$X$, mit einem zusätzlichen Freiheitsgrad$\psi$. Dies kann als Lagrange-Operator für ein sich drehendes Teilchen betrachtet werden, das sich in einer Dimension bewegt.

Definieren Sie die Supersymmetrie-Transformationen (und denken Sie an$\delta$als fermionischer Operator auf den Feldern) als

$$\delta X=2i \epsilon \psi\tag{1.28a}$$ Und $$\delta \psi=- \epsilon \dot{X}.\tag{1.28b}$$

Bemerken, dass$\psi$Und$\delta$Antipendler,$X$Und$\delta$pendeln, und auch das$\delta$ein linearer Operator ist, können wir das leicht sehen

$$\delta L = i \epsilon \frac{d}{dt}(\psi \dot{X}).\tag{1.29}$$

Somit ist die Aktion invariant, da sich die Lagrange-Funktion unter der obigen Transformation nur um eine totale Ableitung ändert. Der konservierte 'Strom' (tatsächlich ist es in einer Dimension die konservierte Ladung) ergibt nach dem Satz von Noether

$$\epsilon Q=\frac{\partial L}{ \partial \dot{X}} \delta X+\frac{\partial L}{ \partial \dot{\psi}} \delta \psi-i \epsilon \psi \dot{X}=2i\epsilon \dot{X} \psi-i \epsilon \dot{X} \psi-i \epsilon \psi \dot{X}=0!\tag{1}$$

Der Vorwurf erweist sich also als trivial. In diesen Anmerkungen wird jedoch in Gleichung (1.30) behauptet, dass die Aufladung tatsächlich ist

$$Q=\psi \dot{X}.\tag{1.30}$$

Was vermisse ich?