Ableitung der Feldgleichung in der Yang Mills-Theorie

Question

Ableitung der Feldgleichung in der Yang Mills-Theorie

Aktion
Physik
Yang-Mühlen
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip
Hausaufgaben und Übungen

Benutzer44212

Versuch das zu zeigen

D_{μ} \vec{F^{μ v}} = \partial_{μ} \vec{F^{μ v}} + G \vec{A_{μ}} \times \vec{F^{μ v}} = 4 π \vec{J^{v}},

$D_\mu\vec{F^{\mu \nu}} = \partial_{\mu}\vec{F^{\mu \nu}} + g \vec{A_\mu} \times \vec{F^{\mu \nu}} = 4 \pi \vec{J^\nu},$

oder (korrigiert mich, wenn ich falsch liege)

\partial_{μ} F_{A}^{μ v} + G F_{A B C} A_{μ}^{B} F^{C μ v} = 4 π J_{A}^{v} .

$\partial_{\mu} F^{\mu \nu}_a + g f_{abc}A_\mu^bF ^{c\mu \nu} = 4 \pi J^{\nu}_a.$

durch Variieren der Aktion

S = \int (\frac{- 1}{4} F_{μ v}^{A} F_{A}^{μ v} + J_{A}^{μ} A_{μ}^{A}) D^{3} X D T

$S= \int \left( \frac{-1}{4}F^a_{\mu \nu} F_a^{\mu \nu} +J_a^\mu A_\mu^a \right) d^3x dt$

Ich weiß, wie man das für normales E & M macht (tatsächlich direkt mit den Euler-Lagrange-Gleichungen beginnend), bin mir aber nicht sicher, wie ich mit diesem zusätzlichen Term umgehen soll, der sich aus dem Operator ergibt $D_\mu$ .

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Trimok · Answer 1

Der kovariante Differentialoperator $D_\mu$ Ist $D_\mu = \partial_\mu (Id)- ig A_\mu = \partial_\mu (Id)- ig T^a A_\mu^a$ , Wo $(Id)$ ist die Identitätsmatrix und die $T^a$ sind die Generatoren einer Lie-Algebra.

Du hast $F_{\mu\nu} = D_\mu A_\nu - D_\nu A_\mu$ , was bedeutet, dass $F_{\mu\nu}$ ist eine kovariante Größe.

Aus den obigen Ausdrücken und den Kommutierungsbeziehungen $[T^a, T^b]=i f^{abc}T^c$ Wenn Sie die Lie-Algebra definieren, erhalten Sie den Ausdruck von $F_{\mu\nu}^a$ :

$F_{\mu\nu}^a =\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + g f^{abc}A_\mu^b A_\nu^c$ .

Wenden Sie jetzt einfach die Euler-Lagrange-Gleichungen an $\dfrac{\partial L}{\partial A_\nu^a} - \partial_\mu \dfrac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A_\nu^a)}=0$ .

Wenn ich explizit ausschreiben will $F^a_{\mu \nu} F _a^{\mu \nu}$ wäre der erste Begriff $\left( \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + g f^{abc} A^b_\mu A^c_\mu \right)$ ? Was ist mit dem zweiten, mit oberen Indizes? Kann ich schreiben $\left( \eta^{\mu \gamma} \partial_\gamma A_{\delta a} \eta^{\delta \nu} - \eta^{\nu \rho} \partial_\rho A_{\sigma a} \eta^{\sigma \mu} + f^{abc} \eta^{\kappa \mu} A_{\kappa b} \eta^{\lambda \nu} A_{\lambda c} \right)$ ? Ist f hier auch der Levi-Civita-Tensor? Probleme mit der Indexnotation, sorry.
@ user44212 : 1) Sie erhalten "kontravariante" Mengen $A^\mu_a$ aus "kovarianten" Größen $A_{\nu a}$ mit dem metrischen Tensor: $A^\mu_a = \eta^{\mu\nu}A_{\nu a}$ . 2) $f^{abc}$ ist ein vollständig antisymmetrischer Tensor, der für die Lie-Algebra charakteristisch ist. Im Spezialfall wo die Lie-Algebra ist $su(2)$ , $f^{abc} = \epsilon^{abc}$ , der Levi-Civita-Tensor $(a,b,c)$ In $(1,2,3)$

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Benutzer44212

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Trimok

Benutzer44212

Trimok

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