Ableitung der Polyakov-Aktion

Question

Ableitung der Polyakov-Aktion

Jonathan Gleason

Wie normalerweise bei der ersten Präsentation der Stringtheorie, der Nambu-Goto-Aktion,

S_{NG} := - T \int d τ d σ \sqrt{- g}

$S_{\text{NG}}:=-T\int d\tau d\sigma \sqrt{-g}$ (

g := det (g_{α β})

$g:=\det (g_{\alpha \beta})$ ist die induzierte Metrik auf dem Weltblatt und

T

$T$ ist eine positive reelle Zahl, die als Saitenspannung interpretiert wird), wird als natürliche Verallgemeinerung der Aktion für ein relativistisches Punktteilchen eingeführt, was wiederum offensichtlich eine korrekte Aktion ist, da es die richtigen Bewegungsgleichungen erzeugt (und eine schöne geometrische Interpretation hat). .

Nicht lange nach der Einführung der Nambu-Goto-Aktion neigen Autoren dazu, die Polyakov-Aktion einzuführen,

\begin{aligned} S_{P} & := - \frac{T}{2} \int d τ d σ \sqrt{- h} h^{a β} g_{a β} = - \frac{T}{2} \int d τ d σ \sqrt{- h} h^{a β} \partial_{a} X \cdot \partial_{β} X \\ = - \frac{T}{2} \int d τ d σ \sqrt{- h} h^{a β} \partial_{a} X^{κ} \partial_{β} X^{λ} G_{κ λ} (X), \end{aligned}

$\begin{align*} S_{\text{P}} & :=-\frac{T}{2}\int d\tau d\sigma \, \sqrt{-h}h^{\alpha \beta}g_{\alpha \beta}=-\frac{T}{2}\int d\tau d\sigma \, \sqrt{-h}h^{\alpha \beta}\partial _\alpha X\cdot \partial _\beta X \\ & =-\frac{T}{2}\int d\tau d\sigma \, \sqrt{-h}h^{\alpha \beta}\partial _\alpha X^\kappa \partial _\beta X^\lambda G_{\kappa \lambda}(X), \end{align*}$ wo

G_{κ λ}

$G_{\kappa \lambda}$ ist die Raum-Zeit-Metrik,

g_{α β}

$g_{\alpha \beta}$ ist die induzierte Metrik auf dem Weltblatt, und

h_{α β}

$h_{\alpha \beta}$ ist die Hilfsmetrik auf dem Weltblatt (

h := det (h_{α β})

$h:=\det (h_{\alpha \beta})$ ). Sie zeigen dann normalerweise, dass diese beiden Aktionen äquivalent sind, in dem Sinne, dass Sie die Bewegungsgleichungen für ableiten können

S_{NG}

$S_{\text{NG}}$ gegeben die Bewegungsgleichungen für

S_{P}

$S_{\text{P}}$ .

Nun, das ist alles schön und gut, aber das zeigt nicht gerade, wie man eigentlich auf die Polyakov-Aktion kommen würde. Als theoretischer Physiker kann man es nicht schaffen, Dinge gedankenlos zu berechnen, um zu zeigen, dass man die richtige Antwort bekommt; Sie müssen in der Lage sein, tatsächlich Dinge zu erfinden. Anstatt also einfach die Polyakov-Aktion aus dem Hut zu ziehen, wäre es schön, einen Weg zu kennen, um die Aktion abzuleiten oder zu motivieren.

Stellen Sie sich also vor, Sie würden ausgehändigt $S_{\text{NG}}$ und Sie haben sich vorgenommen, eine äquivalente Aktion zu entwickeln, die zumindest keine Quadratwurzel beinhaltet. Wie kommen Sie auf die Polyakov-Aktion?

Trimok

Beachten Sie, dass die Bewegungsgleichungen von

S_{P}

$S_P$ Fügen Sie die Bewegungsgleichung der Metriken hinzu, die die Visaroso-Einschränkung ergibt:

T_{a b} = 0

$T_{ab}=0$ , und dies ist notwendig, um sich zu erholen

S_{N G}

$S_{NG}$ aus

S_{P}

$S_P$ . Die Bewegungsgleichung der

X^{μ}

$X^\mu$ zum

S_{P}

$S_P$ , allein, gibt nicht die Bewegungsgleichung der

X^{μ}

$X^\mu$ zum

S_{N G}

$S_{NG}$ .

QMechaniker

Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/240065/2451 . Für die entgegengesetzte Frage, von der Polyakov-Aktion zur Nambu-Goto-Aktion zu wechseln, siehe physical.stackexchange.com/q/17349/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (4)

Ableitung der Polyakov-Aktion

Beachten Sie, dass die Bewegungsgleichungen von $S_P$ Fügen Sie die Bewegungsgleichung der Metriken hinzu, die die Visaroso-Einschränkung ergibt: $T_{ab}=0$ , und dies ist notwendig, um sich zu erholen $S_{NG}$ aus $S_P$ . Die Bewegungsgleichung der $X^\mu$ zum $S_P$ , allein, gibt nicht die Bewegungsgleichung der $X^\mu$ zum $S_{NG}$ .
Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/240065/2451 . Für die entgegengesetzte Frage, von der Polyakov-Aktion zur Nambu-Goto-Aktion zu wechseln, siehe physical.stackexchange.com/q/17349/2451 und darin enthaltene Links.

QMechaniker · Answer 1

I) Die größte kosmetische Ähnlichkeit zwischen der Nambu-Goto-Aktion und der Polyakov-Aktion wird erreicht, wenn wir sie so schreiben

\begin{matrix} (1) & S_{N G} = - \frac{T_{0}}{c} \int d^{2} v Ö l det (M)^{\frac{1}{2}}, \end{matrix}

$\tag{1} S_{NG}~=~ -\frac{T_0}{c} \int d^2{\rm vol} ~\det(M)^{\frac{1}{2}} ,$

und

\begin{matrix} (2) & S_{P} = - \frac{T_{0}}{c} \int d^{2} v Ö l \frac{t r (M)}{2}, \end{matrix}

$\tag{2} S_{P}~=~ -\frac{T_0}{c}\int d^2{\rm vol}~ \frac{{\rm tr}(M)}{2} ,$

beziehungsweise. Hier $h_{ab}$ ist eine Auxiliary World-Sheet (WS)-Metrik mit Lorentzscher Signatur $(-,+)$ , dh minus in zeitlicher WS-Richtung;

\begin{matrix} (3) & d^{2} v Ö l := \sqrt{- h} d τ \land d σ \end{matrix}

$\tag{3} d^2{\rm vol}~:=~\sqrt{-h}~d\tau \wedge d\sigma$

ist eine Diffeomorphismus-invariante WS-Volumenform (eigentlich eine Fläche);

\begin{matrix} (4) & M^{a}_{c} := (h^{- 1})^{a b} γ_{b c} \end{matrix}

$\tag{4} M^{a}{}_{c}~:=~(h^{-1})^{ab}\gamma_{bc}$

ist ein gemischter Tensor; und

\begin{matrix} (5) & γ_{a b} := (X^{*} G)_{a b} := \partial_{a} X^{μ} \partial_{b} X^{v} G_{μ v} (X) \end{matrix}

$\tag{5} \gamma_{ab}~:=~(X^{\ast}G)_{ab}~:=~\partial_a X^{\mu} ~\partial_b X^{\nu}~ G_{\mu\nu}(X)$

ist die induzierte WS-Metrik durch Zurückziehen der Zielraum(TS)-Metrik $G_{\mu\nu}$ mit Lorentz'scher Signatur $(-,+, \ldots, +)$ .

Beachten Sie, dass die Nambu-Goto-Aktion (1) tatsächlich nicht von der Hilfs-WS-Metrik abhängt $h_{ab}$ überhaupt, während die Polyakov-Aktion (2) dies tut.

II) Bekanntlich wird durch Variation der Polyakov-Wirkung (2) bzgl. die WS-Metrik $h_{ab}$ führt dazu, dass die $2\times 2$ Matrix

\begin{matrix} (6) & M^{a}_{b} \approx \frac{t r (M)}{2} δ_{b}^{a} \propto δ_{b}^{a} \end{matrix}

$\tag{6} M^{a}{}_{b}~\approx~\frac{{\rm tr}(M)}{2} \delta^a_b~\propto~\delta^a_b$

muss proportional sein $2\times 2$ Einheitsmatrix auf der Schale. Dies impliziert das

\begin{matrix} (7) & det (M)^{\frac{1}{2}} \approx \frac{t r (M)}{2}, \end{matrix}

$\tag{7} \det(M)^{\frac{1}{2}} ~\approx~ \frac{{\rm tr}(M)}{2},$

damit die beiden Aktionen (1) und (2) auf der Schale zusammenfallen, siehe zB die Wikipedia - Seite. (Hier die $\approx$ Symbol bedeutet Gleichheit modulo eom.)

III) Stellen wir uns nun vor, wir kennen nur die Nambu-Goto-Aktion (1) und nicht die Polyakov-Aktion (2). Die einzigen Diffeomorphismus-invarianten Kombinationen der Matrix $M^{a}{}_{b}$ sind ausschlaggebend $\det(M)$ , die Spur ${\rm tr}(M)$ , und Funktionen davon.

Wenn außerdem die TS-Metrik $G_{\mu\nu}$ dimensionsbehaftet ist, und wir fordern, dass die Aktion in dieser Dimension linear ist, führt uns dies dazu, Aktionsterme der Form zu betrachten

\begin{matrix} (8) & S = - \frac{T_{0}}{c} \int d^{2} v Ö l det (M)^{\frac{p}{2}} {(\frac{t r (M)}{2})}^{1 - p}, \end{matrix}

$\tag{8} S~=~ -\frac{T_0}{c}\int d^2{\rm vol}~ \det(M)^{\frac{p}{2}} \left(\frac{{\rm tr}(M)}{2}\right)^{1-p} ,$

wo $p\in \mathbb{R}$ ist eine echte Macht. Alternativ führt uns die Weyl-Invarianz dazu, die Aktion (8) zu betrachten. Offensichtlich ist die Polyakov-Aktion (2) (entsprechend $p=0$ ) ist nicht weit entfernt, wenn wir einfache ganzzahlige Potenzen in unserer Aktion haben möchten.

Dan · Answer 2

Dan

Quantensysteme werden im Wesentlichen durch ihre Symmetrien definiert. Zum Beispiel erwarten Sie in QFTs, dass alle Terme, die nicht durch die Symmetrien des Problems verboten sind, im Lagrange erscheinen, wobei irrelevante Operatoren durch große Maßstäbe unterdrückt werden usw.

Ich denke also, dass Ihr erster Schritt bei diesem Ansatz darin bestehen würde, die allgemeinste 2D-QFT unter Berücksichtigung der 2D-Diff- und internen Poincare-Symmetrien aufzuschreiben. Die Diff-Symmetrie motiviert Sie, eine dynamische Metrik einzuführen, da Sie bereits etwas Ähnliches für das Punktteilchen getan haben. Das bringt Sie nicht ganz zur Polyakov-Aktion, da die Polyakov-Aktion eine Weyl-Symmetrie hat, die die NG-Aktion nicht hat. Sie haben einen falschen Freiheitsgrad auf dem Worldsheet eingeführt, der in der NG-Aktion nicht vorhanden war, also brauchen Sie ein lokales Symmetrieprinzip, um die redundanten Freiheitsgrade zu entfernen. Ich kenne keinen bestimmten Weg, um zu begründen, dass diese Symmetrie Weyl-Invarianz sein muss, vielleicht tut es jemand anderes.

Aber sobald Sie glauben, dass die Theorie einen lokalen Lagrangian mit Diff-, Poincare- und Weyl-Symmetrien haben sollte, bleiben Sie im Grunde bei der Polyakov-Aktion hängen. Die Polyakov-Aktion (mit dem Euler-charakteristischen Begriff) ist die allgemeinste 2D-Aktion mit den Diff-, Poincaré- und Weyl-Symmetrien und dem zugehörigen Feldinhalt (Polchinski S. 15).

Das Leitprinzip sollten also die Symmetrien der NG-Wirkung sein.

JoshPhysik

+1: Wissen Sie zufällig, inwieweit das, was Sie beschreiben, mit der Geschichte übereinstimmt? Ich weiß, dass Deser/Zumino und Brink/Di Vecchia die Handlung im Wesentlichen zur gleichen Zeit niedergeschrieben haben; Ich frage mich, ob ihr Prozess hauptsächlich von Symmetrien beeinflusst wurde.

Michael

(Mögliches) Argument für die Weyl-Invarianz: Sie führen ein unphysikalisches Feld ein

h_{μ ν}

$h_{\mu\nu}$ was wie eine Metrik auf dem Worldsheet sein soll, aber Sie müssen es loswerden.

h_{μ ν}

$h_{\mu\nu}$ hat drei Freiheitsgrade, und es müssen so viele Symmetrien vorhanden sein, um sie alle zu eliminieren. Diffe kümmert sich um zwei, lässt aber einen Freiheitsgrad (

\sim d e t (h)

$\sim\mathrm{det}(h)$ oder

\sim R

$\sim R$ der Ricci-Skalar). Weyl-Transformationen sind die einzige Möglichkeit, das zu beseitigen. Tatsächlich sind alle (hinreichend glatten etc.) zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten konform flach. Bingo.

Jonathan Gleason

Das gefällt mir, aber diese Methode überzeugt mich nicht wirklich davon, dass das Einfügen eines weiteren Hilfsfelds der richtige Weg ist. Nehmen wir an, wir wollen in der QFT eine Theorie mit einem komplexen Skalarfeld mit a

U (1)

$U(1)$ Symmetrie. Natürlich könnten wir immer noch andere Felder in die Theorie einführen, aber das tut man normalerweise nicht, es sei denn, man wollte von vornherein die zusätzlichen Felder. Und selbst wenn Sie entscheiden, dass die Einführung eines neuen Bereichs der richtige Weg ist, warum sollten Sie bei einem aufhören? Sicherlich könnten wir zwei neue Felder hinzufügen, die alle gewünschten Symmetrien respektieren. . .

Jonathan Gleason

. . . Und zum Teufel, wenn wir noch ein weiteres Feld hinzufügen, könnten wir wahrscheinlich eine weitere Symmetrie damit bekommen.

Jonathan Gleason

. . . Man könnte natürlich sagen, dass die einfachste, die funktioniert, der richtige Weg ist (in diesem Fall eine Aktion mit nur einem zusätzlichen Feld). Trotzdem muss ich zugeben, dass ich mit dieser Antwort nicht ganz zufrieden bin.

Dan

Ich denke, es ist möglich, die Einführung der Metrik mit Ihrem Kriterium in der Frage zu motivieren. Sie möchten die Quadratwurzel loswerden, um zu einem lokalen Lagrangian für die physikalischen Felder zu gelangen. Da Sie eine Quantisierung planen, sollten Sie auch tatsächlich wollen, dass Ihre physikalischen Felder X den kanonischen kinetischen Term mit zwei Ableitungen haben. Wir können nicht einfach den gewöhnlichen kinetischen Begriff verwenden, er wird nicht Diff-invariant sein (wenn es so wäre, wäre Eichfixierung mit konformer Eichung keine Eichfixierung). Also sollten wir diese Skalare eigentlich minimal an die Gravitation koppeln. Also tauschen wir sqrt(dXdx) gegen sqrt(h)

Dan

Was die Einführung von mehr Feldern und das Finden von mehr Symmetrien betrifft, so müssen wir natürlich tun, um realistische Modelle mit fermionischen Freiheitsgraden zu erhalten. Fügen Sie Worldsheet-Fermionen hinzu, finden Sie die superkonforme Worldsheet-Invarianz usw. In diesem Sinne ist die NG-Aktion nur ein Ausgangspunkt.

Ivan Burbano · Answer 3

Die Lösung finden Sie im Artikel hier . Die Idee ist, angenommen, Sie haben eine Startaktion für ein Objekt, dessen Ausdehnung (räumlich) $p$ -dimensional. Es kann durch die Einführung eines zusätzlichen "abstrakten" Weltvolumens beschrieben werden $\Sigma$ die in spacetima via eingebettet wird $X:\Sigma\rightarrow M$ seines Weltvolumens $\Sigma$ an $M$ . Nehmen Sie an, dass es durch die Nambu-Goto-Aktion beschrieben wird

S (X) = - T \int d^{p + 1} ξ \sqrt{- h},

$S(X)=-T\int\text{d}^{p+1}\xi\,\sqrt{-h},$ wo

h = X^{*} G

$h=X^*G$ ist die induzierte Metrik und

G

$G$ ist die Metrik an

M

$M$ . Da diese Aktion in Bezug auf rein geometrische Objekte geschrieben wird, ist sie unter den Diffeormorphismen von unveränderlich

Σ

$\Sigma$ . Dies sollte der Fall sein, da dieser Raum Hilfsraum war.

Nun, nur um eine vernünftige Geschichte zu machen, nehmen wir an, dass wir ein Spielzeugmodell der Schwerkraft bauen wollen, indem wir eine intrinsische Metrik platzieren $g$ an $\Sigma$ was die obige Theorie beschreibt. Eine systematische Lösung für dieses Problem besteht darin, dieselbe Aktion mit der zusätzlichen Einschränkung zu betrachten, die erzwingt $g=h$ . Dies nimmt die Form an

S (X, g, Λ) = - T \int d^{p + 1} ξ (\sqrt{- g} + Λ^{a b} (h_{a b} - g_{a b})),

$S(X,g,\Lambda)=-T\int\text{d}^{p+1}\xi\,\left(\sqrt{-g}+\Lambda^{ab}(h_{ab}-g_{ab})\right),$ für einen Lagrange-Multiplikator

Λ

$\Lambda$ was ein dichtewertiges Tensorprodukt zweier Vektoren ist. Die durch Variieren des Lagrange-Multiplikators erhaltenen Bewegungsgleichungen ergeben eindeutig die gewünschte Einschränkung, und wenn wir diese wieder einsetzen, erhalten wir die Nambu-Goto-Aktion.

Ein anderer Weg wird jedoch erhalten, indem stattdessen die Bewegungsgleichungen betrachtet werden, die durch Variieren der erhaltenen intrinsischen Metrik erhalten werden

\frac{1}{2} \sqrt{- g} g^{a b} = Λ^{a b} .

$\frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{ab}=\Lambda^{ab}.$ Setzen wir dies wieder ein, erhalten wir die Polyakov-Aktion

S (X, g) = - \frac{T}{2} \int d^{p + 1} ξ \sqrt{- g} (g^{a b} h_{a b} + 1 - p) .

$S(X,g)=-\frac{T}{2}\int\text{d}^{p+1}\xi\,\sqrt{-g}\left(g^{ab}h_{ab}+1-p\right).$ Insbesondere für die Saite

p = 1

$p=1$ und wir erhalten die übliche Polyakov-Form.

Interessierten kann ich den zitierten Artikel wirklich empfehlen. Es hat auch eine nette Methode, um Aktionen zu erhalten, die Weyl-invariant sind.

Ich war sehr traurig, als ich vom Tod der OP erfahren habe. Ich fand sein Engagement auf dieser Seite und seine Schriften während meines gesamten Studiums sehr nützlich.

Dr. jh · Answer 4

Vielleicht übersehen Sie hier einen grundlegendsten Punkt. Ich glaube, Ihr Argument geht in die Richtung "Wie kann man Aktionen für bestimmte Theorien erfinden, um die Bewegungsgleichungen zu erhalten?". So funktioniert es nicht. Die Aktion kommt von der Lagrange-Funktion, die die Dynamik des Systems darstellt. Die Lagrange-Funktion wird dann über alle Dimensionen integriert. DAS ist, was (ist) die AKTION ergibt. Es wird nicht „aus der Luft gegriffen“, sondern aus der Dynamik des Systems . Dh. aus greifbaren, realen physikalischen Sachverhalten .

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Jonathan Gleason

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JoshPhysik

Michael

Jonathan Gleason

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Dan

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Ivan Burbano

Dr. jh

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