Verwenden Sie die Randbedingungen der Endpunkte für offene Zeichenfolgen und erhalten Sie dann das EOM

In Zweibachs Ein erster Kurs in Stringtheorie verwendete er das Prinzip der kleinsten Wirkung, um die Bewegungsgleichungen für Saiten zu erhalten, deren Variation der Wirkung (die Null sein sollte) ist:

δ S = ∫ τ ich τ F D τ [ δ X μ P μ σ ] 0 σ 1 − ∫ τ ich τ F D τ ∫ 0 σ 1 D σ δ X μ ( ∂ P μ τ ∂ τ + ∂ P μ σ ∂ σ )
Dann legte er die Randbedingungen der Endpunkte der offenen Zeichenfolgen (Dirichlet und Neumann) fest, um den ersten Term verschwinden zu lassen; und dann sagte er, dass auch der zweite Begriff verschwinden muss. Damit erhalten wir die Bewegungsgleichungen:
∂ P μ τ ∂ τ + ∂ P μ σ ∂ σ = 0
Die sind sowohl für offene als auch für geschlossene Saiten.

Ich habe drei Fragen:

  1. Wie können wir davon ausgehen, dass dies die Bewegungsgleichungen für geschlossene Saiten sind, die überhaupt keine Randbedingungen haben?

  2. Der Endpunkt einer Zeichenfolge kann eine Dirichlet- oder Neumann-Randbedingung haben, nicht beide.

  3. Und die beiden Endpunkte einer offenen Zeichenfolge können unterschiedliche Randbedingungen haben. Wie ist es also logisch, die beiden Bedingungen aufzuerlegen, um das EOM zu erhalten?

Antworten (1)

  1. Für eine geschlossene Saite ≅ S 1 , gibt es keine Grenze und daher auch keine Randbedingung (BC). Äquivalent, wenn wir uns vorstellen, dass die Saite weiterlebt R , kann man sich als periodisches BC vorstellen. Der Randterm in Gl. (1) verschwindet also in jedem Fall. Daher der Massenterm in Gl. (1) muss immer noch null sein.

  2. Für eine offene Saite ≅ ICH ≅ [ 0 , σ 1 ] , gibt es zwei Möglichkeiten, ein Produkt herzustellen P μ σ   δ X μ = 0 null:

    • (i) Die Wahl X μ = C Ö N S T entspricht Dirichlet BC, und
    • (ii) die Wahl P μ σ = 0 entspricht Neumann BC.

  3. Die Grenzen σ = 0 Und σ = σ 1 unabhängig sind, also kann man sich zum Beispiel Dirichlet BC frei aussuchen σ = 0 und Neumann BC bei σ = σ 1 .

Ok, jetzt ist es klar für offene Saiten, danke! aber könnten Sie mir bitte mehr über die geschlossenen Saiten erzählen, ich bin noch nicht auf die Idee gekommen.
Ich habe die Antwort aktualisiert.
Bitte entschuldigen Sie, wenn meine Frage nicht so schlau ist, aber ich lerne diese neuen Dinge selbst. Woher wissen wir, dass der erste Term der Grenzterm und der zweite der Volumenterm ist?
@Milou: Weil die räumliche Worldsheet-Koordinate σ kann nur die Werte übernehmen 0 Und σ 1 im ersten Term, während es im zweiten Term keine solchen Beschränkungen gibt.
Verwenden Sie die Randbedingungen der Endpunkte für offene Zeichenfolgen und erhalten Sie dann das EOM
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