Kontinuumsgrenze der Euler-Lagrange-Gleichung für die Lagrange-Dichte des harmonischen 1D-Gitters

Question

Kontinuumsgrenze der Euler-Lagrange-Gleichung für die Lagrange-Dichte des harmonischen 1D-Gitters

Aktion
Physik
Feldtheorie
Randbedingungen
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

Londonch

Ich versuche, einer Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichung an der Kontinuumsgrenze zu folgen, und finde einige Details schwer verständlich. Das 1D-Gitter hat eine monoatomare Basis mit Atomabstand $\mathfrak{a}$ und Atommassenwesen $m$ . Die relative Verschiebung des n-ten Atoms ist $\delta \eta_{n}$ . Der Lagrange-Operator am diskreten Grenzwert wird geschrieben als

\begin{aligned} L & = \sum_{N = 1}^{N} A \frac{1}{2} [\frac{M}{A} {(δ {\dot{η}}_{N})}^{2} - κ A {(\frac{δ η_{N + 1} - δ η_{N}}{A})}^{2} - \frac{M}{A} Ω^{2} {(δ η_{N})}^{2}] \\ =: \sum_{N = 1}^{N} A L_{N} \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathfrak{L} &=\sum_{n=1}^{N} \mathfrak{a} \frac{1}{2}\left[\frac{m}{\mathfrak{a}}\left(\delta \dot{\eta}_{n}\right)^{2}-\kappa \mathfrak{a}\left(\frac{\delta \eta_{n+1}-\delta \eta_{n}}{\mathfrak{a}}\right)^{2}-\frac{m}{\mathfrak{a}} \Omega^{2}\left(\delta \eta_{n}\right)^{2}\right] \\ &=: \sum_{n=1}^{N} \mathfrak{a} L_{n} \end{aligned}$

Wo $\kappa$ Und $\Omega^2$ sind die Stärke der Atombindung bzw. des äußeren Feldes. An der Grenze von $N\rightarrow\infty$ , die zeitliche Ableitung der relativen Verschiebung $\delta \eta_{n}$ zum Zeitpunkt $t$ wurde durch den Wert der zeitlichen Ableitung ersetzt $\left(\partial_{t} \varphi\right)$ an der Raum-Zeit-Koordinate $(x, t)$ . Und wir haben eine periodische Randbedingung von

φ (X + L, T) = φ (X, T), X \in] 0, L], \forall T \in R .

$\varphi(x+L, t)=\varphi(x, t), \quad x \in] 0, L], \quad \forall t \in \mathbb{R}.$

Wenn wir lassen

μ := \frac{M}{A}, Y := κ A

$\mu:=\frac{m}{\mathfrak{a}}, \quad Y:=\kappa \mathfrak{a}$

und ersetze die diskrete Summe $\sum_{n}$ durch das Integral $\int \mathrm{d} x /\mathfrak{a}$ über das halboffene Intervall $] 0, L]$ , dann schreiben wir die Lagrange-Funktion als

\begin{aligned} L = & \int_{0}^{L} D X \frac{1}{2} [μ {(\frac{\partial φ}{\partial T})}^{2} - Y {(\frac{\partial φ}{\partial X})}^{2} - μ Ω^{2} φ^{2}] \\ = & : \int_{0}^{L} D X L \end{aligned} .

$\begin{aligned} \mathfrak{L}=& \int_{0}^{L} \mathrm{d} x \frac{1}{2}\left[\mu\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)^{2}-Y\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}-\mu \Omega^{2} \varphi^{2}\right] \\ =&: \int_{0}^{L} \mathrm{d} x \mathcal{L} \end{aligned}.$

Wo $\mathcal{L}$ ist die "Lagrange-Dichte". Aus dem Buch von Christopher Mudry erhält man die Kontinuumsgrenze der Euler-Lagrange-Gleichungen als

\begin{matrix} (1) & \partial_{T} \frac{δ L (X, T)}{δ (\partial_{T} φ) (j, T)} + \partial_{X} \frac{δ L (X, T)}{δ (\partial_{X} φ) (j, T)} = \frac{δ L (X, T)}{δ φ (j, T)} . \end{matrix}

$\partial_{t} \frac{\delta \mathcal{L}(x, t)}{\delta\left(\partial_{t} \varphi\right)(y, t)}+\partial_{x} \frac{\delta \mathcal{L}(x, t)}{\delta\left(\partial_{x} \varphi\right)(y, t)}=\frac{\delta \mathcal{L}(x, t)}{\delta \varphi(y, t)}\tag{1}.$

Um (1) zu erhalten, erweitere ich zuerst $\mathcal{L}$ bezüglich $\varphi,\left(\partial_{x} \varphi\right),$ Und $\left(\partial_{t} \varphi\right)$ geben

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} δ L & = L [φ + δ φ, (\partial_{X} φ) + δ (\partial_{X} φ), (\partial_{T} φ) + δ (\partial_{T} φ)] - L [φ, (\partial_{X} φ), (\partial_{T} φ)] \\ = \frac{\partial L}{\partial φ} δ φ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)} δ (\partial_{X} φ) + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)} δ (\partial_{T} φ) + \dots \end{aligned} . \end{matrix}

$\begin{aligned} \delta \mathcal{L} &=\mathcal{L}\left[\varphi+\delta \varphi,\left(\partial_{x} \varphi\right)+\delta\left(\partial_{x} \varphi\right),\left(\partial_{t} \varphi\right)+\delta\left(\partial_{t} \varphi\right)\right]-\mathcal{L}\left[\varphi,\left(\partial_{x} \varphi\right),\left(\partial_{t} \varphi\right)\right] \\ &=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} \delta \varphi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{x} \varphi\right)} \delta\left(\partial_{x} \varphi\right)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{t} \varphi\right)} \delta\left(\partial_{t} \varphi\right)+\cdots \end{aligned}\tag{2}.$

Ignorieren Sie die Terme höherer Ordnung in (2) und beachten Sie das $\delta\partial_x\varphi=\partial_x\delta\varphi$ , können wir (2) durch Teile integrieren, um zu geben

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} δ L & = \int_{0}^{L} D X δ L \\ = \int_{0}^{L} D X {\frac{\partial L}{\partial φ} δ φ + \partial_{X} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)} δ φ) + \partial_{T} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)} δ φ) - δ φ \partial_{X} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)}) - δ φ \partial_{T} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)})} \end{aligned} . \end{matrix}

$\begin{aligned} \delta\mathfrak{L}&=\int^L_0dx\delta\mathcal{L}\\ &=\int^L_0dx\{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}\delta\varphi+\partial_x\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_x\varphi)}\delta\varphi\right)+\partial_t\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\varphi)}\delta\varphi\right)-\delta\varphi\partial_x(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_x\varphi)})-\delta\varphi\partial_t(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\varphi)})\} \end{aligned}\tag{3}.$

Um (1) aus (3) zu erhalten, muss das folgende Integral erfüllt sein:

\begin{matrix} (5) & \int_{0}^{L} D X \partial_{X} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)} δ φ) = {[\frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)} δ φ]}_{0}^{L} = 0, \end{matrix}

$\int^L_0dx\partial_x\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{x} \varphi\right)} \delta \varphi\right)=\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{x} \varphi\right)} \delta \varphi\right]^L_0=0\tag{5},$

\begin{matrix} (6) & \int_{0}^{L} D X \partial_{T} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)} δ φ) = \frac{D}{D T} \int_{0}^{L} D X (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)} δ φ) = 0 . \end{matrix}

$\int^L_0dx\partial_t\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{t} \varphi\right)} \delta \varphi\right)=\frac{d}{dt}\int^L_0dx\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{t} \varphi\right)} \delta \varphi\right)=0\tag{6}.$

Obwohl ich kein Problem mit (5) habe, da wir die Endpunkte nicht ändern, weiß ich nicht, warum Gl. (6) gilt . Ist es nur, weil wir Zeit behandeln $t$ als fester Parameter in (6)?

JD_PM

Hallo Lonitch, ich studiere auch die stetige Grenze der Euler-Lagrange-Gleichungen und habe mich gefragt, welche Bibliographie Sie verwendet haben (beiseite von Christopher Mudrys Buch).

Londonch

@JD_PM, ich habe Mudrys Buch verwendet, um mich mit einigen QFT-Problemen vertraut zu machen. Wenn Ihr Ziel darin besteht, die Euler-Lagrange-Gleichung und ihre Anwendung in der analytischen Mechanik zu lernen, würde ich als Einstieg „Die Variationsprinzipien der Mechanik“ von Cornelius Lanczos empfehlen. Wem das noch nicht reicht, der kann „Analytical Mechanics: An Introduction“ von Antonio Fasano und Stefano Marni ausprobieren. Ihr Buch hat eine sehr gute Berichterstattung über die Integrierbarkeit. Falls Sie an der Beziehung zwischen analytischer und Quantenmechanik interessiert sind, bietet das OGT-Buch von Oliver Johns eine gute Einführung.

JD_PM

Lonitch danke für die Empfehlung. Eigentlich interessiere ich mich besonders dafür, wie man die diskreten Euler-Lagrange-Gleichungen herleiten kann (mehr Details physicalforums.com/threads/… ). Ich habe kürzlich etwas über 3D-Gitterdiskretisierung gelernt und bin immer noch dabei, den Dreh raus zu haben. In meinen Grundkursen über Mechanik (wir konzentrierten uns auf Gregorys Buch über klassische Mechanik) haben wir eine solche Technik nicht behandelt, deshalb suche ich nach einer Bibliographie. Beschäftigt sich eine Ihrer empfohlenen Quellen mit 3D-Gitterdiskretisierung?

Londonch

@JD_PM Es klingt für mich, als würden Sie versuchen, den Variationsintegrator auf einem 3D-Gitter zu lernen. Keines der Bücher gibt solche. Vielleicht möchten Sie einige Papiere dafür überprüfen. Zum Beispiel das zweite Kapitel der Doktorarbeit von Dr. Mathew West ( thesis.library.caltech.edu/2492/1/west_thesis.pdf )

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Kontinuumsgrenze der Euler-Lagrange-Gleichung für die Lagrange-Dichte des harmonischen 1D-Gitters

Hallo Lonitch, ich studiere auch die stetige Grenze der Euler-Lagrange-Gleichungen und habe mich gefragt, welche Bibliographie Sie verwendet haben (beiseite von Christopher Mudrys Buch).
@JD_PM, ich habe Mudrys Buch verwendet, um mich mit einigen QFT-Problemen vertraut zu machen. Wenn Ihr Ziel darin besteht, die Euler-Lagrange-Gleichung und ihre Anwendung in der analytischen Mechanik zu lernen, würde ich als Einstieg „Die Variationsprinzipien der Mechanik“ von Cornelius Lanczos empfehlen. Wem das noch nicht reicht, der kann „Analytical Mechanics: An Introduction“ von Antonio Fasano und Stefano Marni ausprobieren. Ihr Buch hat eine sehr gute Berichterstattung über die Integrierbarkeit. Falls Sie an der Beziehung zwischen analytischer und Quantenmechanik interessiert sind, bietet das OGT-Buch von Oliver Johns eine gute Einführung.
Lonitch danke für die Empfehlung. Eigentlich interessiere ich mich besonders dafür, wie man die diskreten Euler-Lagrange-Gleichungen herleiten kann (mehr Details physicalforums.com/threads/… ). Ich habe kürzlich etwas über 3D-Gitterdiskretisierung gelernt und bin immer noch dabei, den Dreh raus zu haben. In meinen Grundkursen über Mechanik (wir konzentrierten uns auf Gregorys Buch über klassische Mechanik) haben wir eine solche Technik nicht behandelt, deshalb suche ich nach einer Bibliographie. Beschäftigt sich eine Ihrer empfohlenen Quellen mit 3D-Gitterdiskretisierung?
@JD_PM Es klingt für mich, als würden Sie versuchen, den Variationsintegrator auf einem 3D-Gitter zu lernen. Keines der Bücher gibt solche. Vielleicht möchten Sie einige Papiere dafür überprüfen. Zum Beispiel das zweite Kapitel der Doktorarbeit von Dr. Mathew West ( thesis.library.caltech.edu/2492/1/west_thesis.pdf )

QMechaniker · Answer 1

QMechaniker

OP hat Recht. Im Allgemeinen müssen wir, damit das Aktionsprinzip funktioniert, nur Randbedingungen (BCs) an der Grenze der Raumzeit auferlegen. Daher sollten wir Gl. (6) im Inneren der Raumzeit.

Mit anderen Worten, OP sollte seine obige Analyse vorzugsweise wiederholen, indem es die Aktion und nicht die Lagrange verwendet.

Londonch

Danke für deinen Rat. Ich denke darüber nach, dass die Störung zu jedem Zeitpunkt in den Pfad eingeführt wird

δ φ

$\delta\varphi$ sollte nur eine Funktion von sein

x

$x$ . Und die Euler-Lagrange-Gleichung wird Gl. (1) ohne die

\partial_{t}

$\partial_t$ Begriff. Mein Versuch, dies zu korrigieren, wird in meiner Antwort gezeigt.

QMechaniker

Beachten Sie, dass die infinitesimale Variation

δ φ (x, t)

$\delta \varphi(x,t)$ kann auch abhängen

t

$t$ .

Londonch · Answer 2

Mein Versuch, die obige Euler-Lagrange-Gleichung herzuleiten, geht von der Aktion aus,

\begin{matrix} (1) & S = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \int_{0}^{L} L (φ, \partial_{X} φ, \partial_{T} φ) D X D T \end{matrix}

$S=\int_{t_1}^{t_2}\int_0^L\mathcal{L}(\varphi,\partial_x\varphi,\partial_t\varphi)dxdt\tag{1}$

und ich führe die Störung in den Pfad ein, $\delta\varphi(x,t)$ schreiben

S_{λ} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \int_{0}^{L} D X D T L (φ + λ δ φ, \partial_{X} φ + λ \partial_{X} δ φ, \partial_{T} φ + λ \partial_{T} δ φ) .

$S_{\lambda}=\int_{t_1}^{t_2}\int^L_0dxdt\mathcal{L}(\varphi+\lambda\delta\varphi,\partial_x\varphi+\lambda\partial_x\delta\varphi,\partial_t\varphi+\lambda\partial_t\delta\varphi).$

Dann

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{\partial S_{λ}}{\partial λ} & = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \int_{0}^{L} D X D T {δ φ \frac{\partial L}{\partial (φ + λ δ φ)} + \partial_{X} (δ φ) \frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ + λ \partial_{X} (δ φ))} \\ + \partial_{T} (δ φ) \frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ + λ \partial_{T} (δ φ))}} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{aligned}\frac{\partial S_{\lambda}}{\partial\lambda}&=\int^{t_2}_{t_1}\int_0^Ldxdt\left\{\delta\varphi\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\varphi+\lambda\delta\varphi)}+\partial_x(\delta\varphi)\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_x\varphi+\lambda\partial_x(\delta\varphi))}\right.\\ &\left.+\partial_t(\delta\varphi)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t\varphi+\lambda\partial_t(\delta\varphi))}\right\}\end{aligned}\tag{2}$

Und

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \frac{\partial S_{λ}}{\partial λ} |_{λ = 0} & = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \int_{0}^{L} D X D T {δ φ \frac{\partial L}{\partial φ} + \partial_{X} (δ φ) \frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)} + \partial_{T} (δ φ) \frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)}} \\ = \int_{0}^{L} {[δ φ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)}]}_{T_{1}}^{T_{2}} D X + \int_{T_{1}}^{T 2} \int_{0}^{L} D X D T {δ φ \frac{\partial L}{\partial φ} - δ φ \partial_{T} [\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)}] + \partial_{X} (δ φ) \frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)}} \\ = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \int_{0}^{L} D X D T {δ φ [\frac{\partial L}{\partial φ} - \partial_{T} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)}) - \partial_{X} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)})]} + \int_{T 1}^{T 2} {[δ φ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)}]}_{0}^{L} D T \\ = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \int_{0}^{L} D X D T {δ φ [\frac{\partial L}{\partial φ} - \partial_{T} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)}) - \partial_{X} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)})]} \end{aligned} . \end{matrix}

$\begin{aligned}\frac{\partial S_{\lambda}}{\partial \lambda}|_{\lambda=0}&=\int^{t_2}_{t_1}\int_0^Ldxdt\left\{\delta\varphi\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\varphi}+\partial_x(\delta\varphi)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x\varphi)}+\partial_t(\delta\varphi)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t\varphi)}\right\}\\ &=\int_0^L\left[\delta\varphi\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t\varphi)}\right]^{t_2}_{t_1}dx+\int_{t_1}^{t2}\int^L_0dxdt\left\{\delta\varphi\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\varphi}-\delta\varphi\partial_t\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_t\varphi)}\right]+\partial_x(\delta\varphi)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x\varphi)}\right\}\\ &=\int_{t_1}^{t_2}\int_0^Ldxdt\left\{\delta\varphi\left[\frac{\partial L}{\partial\varphi}-\partial_t\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_t\varphi)}\right)-\partial_x\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_x\varphi)}\right)\right]\right\}+\int_{t1}^{t2}\left[\delta\varphi\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x\varphi)}\right]^{L}_{0}dt\\ &=\int_{t_1}^{t_2}\int_0^Ldxdt\left\{\delta\varphi\left[\frac{\partial L}{\partial\varphi}-\partial_t\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_t\varphi)}\right)-\partial_x\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_x\varphi)}\right)\right]\right\} \end{aligned}\tag{3}.$

So

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial S_{λ}}{\partial λ} |_{λ = 0} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \int_{0}^{L} D X D T {δ φ [\frac{\partial L}{\partial φ} - \partial_{T} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)}) - \partial_{X} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)})]} = 0 . \end{matrix}

$\frac{\partial S_{\lambda}}{\partial \lambda}|_{\lambda=0}=\int^{t_2}_{t_1}\int_0^Ldxdt\left\{\delta\varphi\left[\frac{\partial L}{\partial\varphi}-\partial_t\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_t\varphi)}\right)-\partial_x\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_x\varphi)}\right)\right]\right\}=0\tag{4}.$

Aus (4) haben wir

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial L}{\partial φ} = \partial_{T} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{T} φ)}) + \partial_{X} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{X} φ)}) . \end{matrix}

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=\partial_t\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_t\varphi)}\right)+\partial_x\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_x\varphi)}\right)\tag{5}.$

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