Was ist die physikalische Bedeutung der Aussage „Lagrangian kann nur bis auf eine totale Ableitung definiert werden“?

Betrachtet man ein Analogon für die potentielle Energie eines physikalischen Systems, kann es bis auf eine additive Konstante eindeutig sein, aber dies kann damit erklärt werden, dass wir wirklich an der Änderung der potentiellen Energie interessiert sind und diese additive Konstante nicht dazu beiträgt.

Zwei Lagrange L Und L ' die sich durch eine totale Ableitung w/r zu unterscheiden T werden die gleichen Bewegungsgleichungen erzeugen.
Ja, verstanden. Aber gibt es eine physikalische Bedeutung dafür, warum dies passieren kann?
Informell , weil S = ∫ L D T , Hinzufügen einer Gesamtableitung zu L ist vergleichbar mit dem Hinzufügen einer Integrationskonstante zu S . Da die EL-Gleichungen durch Variation von erhalten werden S - im Grunde eine funktionale Ableitung - diese Integrationskonstante verschwindet einfach, wenn Sie die Ableitung nehmen.
Ja, aber gibt diese Gesamtableitung zusätzliche Informationen über das System? (ebenfalls redundante Angaben löschen)
Beachten Sie nebenbei, dass dies die minimale Kopplungsarbeit ausmacht: Der kanonische Impuls hat die gleiche Eichfreiheit wie das elektromagnetische 4-Potential
Ein weiterer entscheidender Punkt ist die Funktion F ist eine Funktion verallgemeinerter Koordinaten ( Q N ) und nur Zeit, d. h. F ( Q N , T ) . Und die physikalische Bedeutung ist, dass die Lagrange-Funktion für ein System nicht eindeutig ist, aber die Bewegungsgleichungen sind es. Dasselbe wie im Potenzial v und Vektorpotential A sind nicht einzigartig, aber E Und B Sind.

Antworten (4)

Die physikalische Bedeutung ist, dass Gesamtableitungs- / Divergenzterme nur Randterme in der Aktion sind und Randbedingungen die Grenze festlegen, sodass sie weder aktiv in das stationäre Aktionsprinzip eintreten noch die EL-Gleichungen ändern können (vorausgesetzt, das Variationsproblem ist gut gestellt). . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Die Aktion ist im Wesentlichen das Produkt aus Energie (in einem System) mal Zeit (dem Evolutionsparameter). Aber Energie hat keine Bedeutung; nur seine Unterschiede. Deshalb verhält sich Aktion wie ein Potential und ist nur modulo einer additiven Konstante definiert (die einem Randterm entsprechen sollte, der von einer Gesamtzeitableitung ausgeht). Es kommt also nur auf die Variation einer Aktion an.

Hamiltons Prinzip ist eine Aussage über die Handlung

S = ∫ T 1 T 2 D T   L

das heißt, welche Dynamik Sie auch daraus ableiten, sie basiert darauf, dass δ S = 0 . Stellen Sie sich das vor diesem Hintergrund für einen Lagrange vor L Sie definieren eine neue Funktion des Formulars L ' = L + D F / D T , damit die Aktion wird

S ' = ∫ T 1 T 2 D T   L ' = ∫ T 1 T 2 D T   L + ∫ T 1 T 2 D T   D F D T = S + [ F ( T 2 ) − F ( T 1 ) ]

und klar

δ S ' = δ S

Die erzeugte Dynamik ist also dieselbe. Das heißt, Sie können die Lagrange-Funktion immer ändern, indem Sie eine Ableitung hinzufügen, und die Dynamik ist dieselbe.

Wir verwenden Lagrange-Operatoren, um Bewegungsgleichungen zu erstellen, und Bewegungsgleichungen, um messbare Vorhersagen darüber zu erstellen, wie sich ein System im Laufe der Zeit entwickeln wird. Lagrangeianer codieren also eine Art Metamuster im Vorhersagekonstruktionsprozess, und zwar recht effizient mit viel Flexibilität bei der Beschreibung des Systems. Wenn zwei Lagrangianer in allen Fällen die gleichen Bewegungsgleichungen erzeugen, dann ist der Unterschied zwischen ihnen ein Unterschied ohne Unterschied. Ähnlich, wenn auch komplizierter, wie die Aussage A + B = B + A .

Was ist die physikalische Bedeutung der Aussage „Lagrangian kann nur bis auf eine totale Ableitung definiert werden“?
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