Kann eine Vierer-Divergenz reiner Yang-Mills-Lagrangian hinzugefügt werden, um die Aktion zu verändern? [Duplikat]

Question

Kann eine Vierer-Divergenz reiner Yang-Mills-Lagrangian hinzugefügt werden, um die Aktion zu verändern? [Duplikat]

Aktion
Physik
Feldtheorie
Grenzbegriffe
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

SRS

Ein Term mit vier Divergenzen $\partial_\mu K^\mu$ Wenn sie zu einem Lagrange hinzugefügt wird, ändert sich die Aktion wie folgt

\begin{matrix} (1) & S \to S^{'} = S + \int_{R} D^{4} X \partial_{μ} K^{μ} \end{matrix}

$S\to S^\prime=S+\int_R d^4x \partial_\mu K^\mu\tag{1}$ Wo

R

$R$ ist eine Region der Raumzeit. Unter Verwendung des Satzes von Gauß ist der Begriff

\int_{R} d^{4} x \partial_{μ} K^{μ}

$\int_R d^4x \partial_\mu K^\mu$ kann in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden

\int_{\partial R} D σ_{μ} K^{μ}

$\int_{\partial R} d\sigma_\mu K^\mu$ Wo

\partial R

$\partial R$ stellt die Grenze dar

R

$R$ . Betrachten Sie nun eine reine Yang-Mills-Aktion

S = - \int D^{4} X \frac{1}{4} G_{μ v}^{A} G^{μ v A} .

$S=-\int d^4x~ \frac{1}{4}G_{\mu\nu}^a G^{\mu\nu a}.$ Wir fügen ihm einen Begriff hinzu

\int_{R} d^{4} x \partial_{μ} K^{μ}

$\int_R d^4x \partial_\mu K^\mu$ Wo

K^{μ}

$K^\mu$ hat die Form

K^{μ} = \frac{1}{16 π^{2}} ϵ^{μ v λ ρ} A_{v}^{A} (G_{λ ρ}^{A} + \frac{G}{3} F^{B C A} A_{λ}^{B} A_{ρ}^{C}) .

$K^\mu=\frac{1}{16\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}A_\nu^a\Big(G^a_{\lambda\rho}+\frac{g}{3}f^{bca}A_\lambda^b A_\rho^c\Big).$ Hier,

G_{μ ν}^{a} = \partial_{μ} A_{ν}^{a} - \partial_{ν} A_{μ}^{a} + g f^{a b c} A_{μ}^{b} A_{ν}^{c}

$G_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c$ bezeichnet den Gluon-Feldstärketensor,

A_{μ}^{a}

$A_\mu^a$ sind die Gluonen-Eichfelder und

a, b, c

$a,b,c$ bezeichnen den Farbindex. Daher ändert sich die Aktion zu

\begin{array}{rcl} S \to S^{'} & = & S + \int_{R} D^{4} X \partial_{μ} K^{μ} \\ = & S + \int_{\partial R} D σ_{μ} K^{μ} \\ = & S + \frac{1}{16 π^{2}} ϵ^{μ v λ ρ} \int_{\partial T} D σ_{μ} A_{v}^{A} (G_{λ ρ}^{A} + \frac{G}{3} F^{B C A} A_{λ}^{B} A_{ρ}^{C}) . \end{array}

$\begin{eqnarray}S\to S^\prime &=& S+\int_R d^4x \partial_\mu K^\mu\\ &=& S+\int_{\partial R} d\sigma_\mu K^\mu\\ &=& S+\frac{1}{16\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}\int_{\partial T}d\sigma_\mu A_\nu^a\Big(G^a_{\lambda\rho}+\frac{g}{3}f^{bca}A_\lambda^b A_\rho^c\Big).\end{eqnarray}$ Betrachten wir nun die reine Eichung, also eine Randbedingung der Form

A_{μ}^{a} \neq 0

$A_\mu^a\neq 0$ Aber

G_{μ ν}^{a} = 0

$G_{\mu\nu}^a=0$ bei

\partial R

$\partial R$ , sehen wir, dass sich die Aktion um einen Betrag ungleich Null ändert

S^{'} - S = \frac{G}{48 π^{2}} ϵ^{μ v λ ρ} F^{B C A} \int_{\partial R} D σ_{μ} A_{v}^{A} A_{λ}^{B} A_{ρ}^{C} \neq 0.

$S^\prime-S=\frac{g}{48\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}f^{bca}\int_{\partial R}d\sigma_\mu A_\nu^a A_\lambda^b A_\rho^c\neq 0.$

Frage Bedeutet dies, dass sich die Aktion ändern kann, selbst wenn eine Viererdivergenz zur Lagrange-Funktion hinzugefügt wird?

SRS

Ja, das frage ich. Aber oft ändert das Hinzufügen einer totalen Divergenz zu Lagrange nicht die Aktion. Rechts? Aus diesem Grund erlauben wir in Symmetrieüberlegungen, dass sich die Lagrange-Funktion um eine 4-Divergenz ändern kann, sodass die Wirkung unverändert bleibt. (Peskin- und Schroeder-Gleichung 2.10) @AccidentalFourierTransform

SRS

Habe ich im vorangegangenen Kommentar eine falsche Aussage gemacht? @AccidentalFourierTransform

ACuriousMind

Ich verstehe nicht, welche Art von Antwort Sie hier suchen. Sie haben deutlich gezeigt, dass sich die Wirkung um einen Randterm ändert, wenn Sie diese Divergenz zum Lagrangian addieren. Ihr "Bedeutet dies, dass sich die Aktion ändern kann, selbst wenn eine Viererdivergenz hinzugefügt wird?" macht also keinen sinn - das hast du gerade gezeigt! Was willst du hier wirklich wissen?

SRS

Als ich "hinzugefügt" sagte, meinte ich "zum Lagrange hinzugefügt", nicht zur Aktion. Normalerweise ändert sich die Aktion nicht, wenn eine 4-Divergenz zu einem Lagrange hinzugefügt wird. Schließlich impliziert Symmetrie Invarianz der Wirkung; Invarianz der Aktion erlaubt es uns, eine 4-Divergenz zur Lagrange-Funktion hinzuzufügen. Ist das falsch? @ACuriousMind

ACuriousMind

All das kann je nach Ihrer Definition von Symmetrie falsch sein oder auch nicht . Siehe physical.stackexchange.com/a/51334/50583 für eine Diskussion über (Quasi-)Symmetrien mit Randbedingungen in der Aktion. Bitte warte mit deiner eigentlichen Frage nicht, bis jemand in den Kommentaren fragt, sondern stelle sie tatsächlich in der Frage selbst.

AccidentalFourierTransform

siehe auch physical.stackexchange.com/q/368801/84967

Antworten (1)

Kann eine Vierer-Divergenz reiner Yang-Mills-Lagrangian hinzugefügt werden, um die Aktion zu verändern? [Duplikat]

Ja, das frage ich. Aber oft ändert das Hinzufügen einer totalen Divergenz zu Lagrange nicht die Aktion. Rechts? Aus diesem Grund erlauben wir in Symmetrieüberlegungen, dass sich die Lagrange-Funktion um eine 4-Divergenz ändern kann, sodass die Wirkung unverändert bleibt. (Peskin- und Schroeder-Gleichung 2.10) @AccidentalFourierTransform
Habe ich im vorangegangenen Kommentar eine falsche Aussage gemacht? @AccidentalFourierTransform
Ich verstehe nicht, welche Art von Antwort Sie hier suchen. Sie haben deutlich gezeigt, dass sich die Wirkung um einen Randterm ändert, wenn Sie diese Divergenz zum Lagrangian addieren. Ihr "Bedeutet dies, dass sich die Aktion ändern kann, selbst wenn eine Viererdivergenz hinzugefügt wird?" macht also keinen sinn - das hast du gerade gezeigt! Was willst du hier wirklich wissen?
Als ich "hinzugefügt" sagte, meinte ich "zum Lagrange hinzugefügt", nicht zur Aktion. Normalerweise ändert sich die Aktion nicht, wenn eine 4-Divergenz zu einem Lagrange hinzugefügt wird. Schließlich impliziert Symmetrie Invarianz der Wirkung; Invarianz der Aktion erlaubt es uns, eine 4-Divergenz zur Lagrange-Funktion hinzuzufügen. Ist das falsch? @ACuriousMind
All das kann je nach Ihrer Definition von Symmetrie falsch sein oder auch nicht . Siehe physical.stackexchange.com/a/51334/50583 für eine Diskussion über (Quasi-)Symmetrien mit Randbedingungen in der Aktion. Bitte warte mit deiner eigentlichen Frage nicht, bis jemand in den Kommentaren fragt, sondern stelle sie tatsächlich in der Frage selbst.

QMechaniker · Answer 1

Damit ein Wirkprinzip mathematisch gut aufgestellt ist, die funktionalen/variativen Ableitungen $\delta S/\delta A^a_{\mu}$ sollte bestehen. Daher ist es notwendig, geeignete Randbedingungen (BCs) festzulegen.
In OPs speziellem Fall der YM-Theorie mit Randbedingungen (BTs) lassen wir es als Übung, alle möglichen konsistenten BCs auszuarbeiten. Beachten Sie insbesondere, dass BTs in der Aktion den Satz konsistenter BCs ändern können. (Diese letzte Tatsache ist vermutlich die Antwort auf die eigentliche Frage von OP.) Ein BC, das immer mathematisch funktioniert, ist der Dirichlet BC.
Unterscheiden sich 2 Wirkungsprinzipien [beide mit (nicht unbedingt gleichen) konsistenten BCs] um ein BT, dann sind die Bewegungsfeldgleichungen gleich, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Schließlich sollten wir betonen, dass ein BC (abgesehen davon, dass es mathematisch konsistent ist) oft auch körperlich motiviert ist.

Kann eine Vierer-Divergenz reiner Yang-Mills-Lagrangian hinzugefügt werden, um die Aktion zu verändern? [Duplikat]

SRS

SRS

SRS

ACuriousMind

SRS

ACuriousMind

AccidentalFourierTransform

Antworten (1)

QMechaniker

Wann wird der numerische Wert der Lagrange-Funktion auf der Schale als vollständiges Differential bewertet?

Universalität des Prinzips der kleinsten Wirkung, warum funktioniert es? [Duplikat]

Warum sind die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant, wenn wir der Wirkung einen Oberflächenterm hinzufügen?

Was ist die physikalische Bedeutung der Aussage „Lagrangian kann nur bis auf eine totale Ableitung definiert werden“?

Die Euler-Lagrange-Gleichung in der speziellen Relativitätstheorie

Wie sind Lagrangians in QFT konstruiert?

Intuition für Aktionen, die als Integrale über die Raumzeit geschrieben sind

Aktionsvariation mit Zeitkoordinatenvariationen

Warum können wir Variationen für die Metrik und ihre Ableitungen im Unendlichen auf Null setzen?

Gesamtderivate in GR