Aktionsvariation mit Zeitkoordinatenvariationen

Das ist das Variationsproblem mit freier Endzeit und man geht so vor:

$$\delta S= \int_{t_i}^{t_f+\delta t_f} L \left(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t\right) dt - \int_{t_i}^{t_f} L \left(q, \dot{q}, t\right) dt$$

Nach mehreren Transformationen und partieller Integration erhält man schließlich das übliche Euler-Lagrange diff eq plus eine Randbedingung mit$\delta t_f$:

$$0 = L(q, \dot{q}, t) \delta t_f + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(\delta q_f - \dot{q} \delta t_f)$$

Ableitungsschritte:

A. Erweitern Sie das erste Integral in einer Taylor-Reihe und behalten Sie die Bedingungen der 1. Ordnung bei und teilen Sie die Integrationsgrenzen auf (und führen Sie alle Kürzungen durch):

$$\delta S= \int_{t_f}^{t_f+\delta{t_f}} \left[ L + \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

B. Die Gesamtvariation besteht aus 2 Variationen;$\delta{q}$Und$\delta{t_f}$. Integrieren über ein kleines Intervall, dh$[t_f, t_f + \delta{t_f}]$ist praktisch äquivalent zur Multiplikation mit$\delta{t_f}$:

$$\delta S= \delta{t_f} \left[ L + \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

C. Begriffe wie$\delta{t_f}\delta{q}$oder$\delta{t_f}\delta{\dot{q}}$sind Variationen 2. Ordnung und können entfallen:

$$\delta S= \delta{t_f} L + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

D. Partielle Integration ergibt eine übliche Euler-Lagrange diff Gl. zuzüglich der Randbedingung.

e. An der Randbedingung zum Zeitpunkt$t_f$hat man:

Gesamtvariation von$q$bei$t_f$Ist

$$\delta{q_f} = \delta{q(t_f)} + (\dot{q} + \delta{\dot{q}})\delta{t_f} = \delta{q(t_f)} + \dot{q}\delta{t_f}$$

oder

$$\delta{q(t_f)} = \delta{q_f} - \dot{q}\delta{t_f}$$

Hinweis für @Y2H:

Die Gesamtvariation an der Grenze$\delta{q_f}$ist einfach die Summe der Weg- und Zeitvariationen an der Grenze (da diese als unabhängige Variationen betrachtet werden können), dh$(\delta{q(t_f)}) + (q(t_f+\delta{t_f})+\delta{q(t_f+\delta{t_f})}-q(t_f)-\delta{q(t_f)})$und letztere können (bis zu Variationen 1. Ordnung) als zerlegt werden$(\dot{q}(t_f) + \delta{\dot{q}(t_f)})\delta{t_f}$

PS: Es ist lange her, dass diese Antwort gepostet wurde, und ich habe meine Notizen nicht zur Hand, aber ich hoffe, das Obige gibt Ihnen einen Hinweis.

PS2: Hier sind einige zusammenfassende Vorlesungsnotizen zur verallgemeinerten Variationsrechnung mit freien Endpunkten

I) Hinweis: Zerlegen Sie die vollständige infinitesimale Variation

$$\tag{A} \delta q~=~\delta_0 q + \dot{q} \delta t$$

in einer vertikalen infinitesimalen Variation$\delta_0 q$und eine horizontale infinitesimale Variation$\delta t$. Ähnlich wird die volle infinitesimale Variation

$$\tag{B} \delta I~=~\delta_0 I + \left[ L ~\delta t \right]_{t_1}^{t_2},$$

wobei das vertikale Stück dem Standard- Euler-Lagrange -Argument folgt

$$\tag{C} \delta_0 I~=~ \int_{t_1}^{t_2}\! dt~\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\dot{p} \right] \delta_0 q + \left[ p ~\delta_0q \right]_{t_1}^{t_2},$$

und wir haben der Einfachheit halber die Lagrange-Impulse definiert

$$\tag{D} p~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.$$

Kombiniere nun Gl. (AD) zur Ableitung von Gl. (65) in Lit. 1:

$$\tag{65} \delta I~=~ \int_{t_1}^{t_2}\! dt~\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\dot{p} \right] \delta_0 q + \left[ p ~\delta q - (p\dot{q}-L)\delta t\right]_{t_1}^{t_2},$$

II) Ideologisch sollten wir betonen, dass Ref. Ich bin nicht daran interessiert, ein Variationsprinzip für nicht-vertikale Variationen vorzuschlagen (wie zB das Maupertuis-Prinzip oder eine Variante des Maximumprinzips von Pontryagin usw.). Ref. 1 berechnet lediglich nicht-vertikale Variationen innerhalb einer Theorie, die immer noch vom Prinzip der stationären Wirkung (für vertikale Variationen) beherrscht wird.

III) Ref.-Nr. 1 verwendet hauptsächlich Gl. (65), um Eigenschaften der Dirichlet-Wirkung auf der Schale abzuleiten $^1$

$$\tag{E} S(q_2,t_2;q_1,t_1)~:=~I[q_{\rm cl};t_1,t_2],$$

vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Verweise:

1. LB Szabados, Quasi-Local Energy-Momentum and Angular Momentum in GR: A Review Article, Living Rev. Relativity 7 (2004) 4 .

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$^1$Ref. 1 ruft an$S(q_2,t_2;q_1,t_1)$die Hamilton-Jacobi-Hauptfunktion. Obwohl verwandt, die Hamilton-Jacobi-Hauptfunktion $S(q,P,t)$ist streng genommen eine weitere Funktion, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.