Spielt ein zusätzlicher Term mit vier Divergenzen in einer Lagrange-Dichte eine Rolle für die Feldgleichungen?

Question

Spielt ein zusätzlicher Term mit vier Divergenzen in einer Lagrange-Dichte eine Rolle für die Feldgleichungen?

Physik
Randbedingungen
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Variationsprinzip
funktionale Ableitungen

LYg

Greiner hat in seinem Buch "Field Quantization" Seite 173, Gl. (7.11) diese Berechnung durchgeführt:

${\mathcal L}^\prime=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu-\frac{1}{2}\partial_\mu A^\mu\partial_\nu A^\nu$
$\space\space\space\space=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+\frac{1}{2}\partial_\mu[A_\nu(\partial^\nu A^\mu)-(\partial_\nu A^\nu) A^\mu]$

Der letzte Term ist eine Viererdivergenz, die keinen Einfluss auf die Feldgleichungen hat. Somit kann die Dynamik des elektromagnetischen Feldes (in der Lorentz-Eichung) durch die einfache Lagrange-Funktion beschrieben werden

${\mathcal L}^{\prime\prime}=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu$

Ja, wenn es sich um eine Vierer-Divergenz eines Vektors handelt, dessen 0-Komponente keine zeitlichen Ableitungen des Feldes enthält , wird diese Vierer-Divergenz nach dem Variationsprinzip zwar die Feldgleichung nicht beeinflussen.

Und tatsächlich habe ich die zeitliche Ableitungsabhängigkeit der 0-Komponente von berechnet $[A_\nu(\partial^\nu A^\mu)-(\partial_\nu A^\nu) A^\mu]$ , in denen nur $[A_0(\partial^0 A^0)-(\partial_0 A^0) A^0]$ könnte möglicherweise eine zeitliche Ableitung enthalten, die glücklicherweise verschwindet, also spielt es im vorliegenden Fall keine Rolle, was auch immer der allgemeine Fall ist.

Aber wie kann er scheinbar behaupten, dass dies für einen allgemeinen Term mit vier Divergenzen giltThe last term is a four-divergence which has no influence on the field equations ?

EDIT:
Ich habe nur angenommen, dass die Randbedingung ist $A^\mu=0$ bei räumlicher Unendlichkeit, nicht bei zeitlicher Unendlichkeit. Und die Variation der Aktion $S = \int_{t_1}^{t_2}L \, dt$ ist auf die Variation von Feldern zurückzuführen, die mit der Zeit verschwinden, $\delta A^\mu(\mathbf x,t_1)=\delta A^\mu(\mathbf x,t_2)=0$ , ohne das Wissen von $\delta \dot A^\mu(\mathbf x,t_1)$ Und $\delta \dot A^\mu(\mathbf x,t_2)$ , die im Allgemeinen nicht verschwinden, so dass der Vierer-Divergenz-Term im Allgemeinen zur Aktion beiträgt,

δ S_{J} = δ \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T \int D^{3} X \partial_{μ} J (A (X), \nabla A (X), \dot{A} (X))^{μ} = δ \int_{T_{1}}^{T_{2}} D T \int D^{3} X {\dot{J}}^{0} = \int D^{3} X [δ J (X, T_{2})^{0} - δ J (X, T_{1})^{0}]

$\delta S_j=\delta \int_{t_1}^{t_2}dt\int d^3\mathbf x \partial_\mu j(A(x),\nabla A(x),\dot A(x))^\mu =\delta \int_{t_1}^{t_2}dt\int d^3\mathbf x \dot j^0 =\int d^3\mathbf x [\delta j(\mathbf x, t_2)^0-\delta j(\mathbf x, t_1)^0]$ die im Allgemeinen nicht verschwindet!

Andreas

Wie Sie sagen, heben sich in Ihrem Beispiel die Zeitderivate auf, sodass es kein Problem gibt. Ein Beispiel, bei dem diese Subtilität wichtig ist, ist die Einstein-Hilbert-Aktion. Es gibt nicht verschwindende Zeitableitungen an der Grenze. Die Lösung in diesem Fall besteht darin, Grenzbegriffe (Gibbons Hawking York Grenzbegriffe) hinzuzufügen, die die störenden Teile aufheben.

Alexander Nelson

(a) Ich denke, Sie meinen Lorenz-Messgerät, nicht Lorentz. (b) Wenn Sie diese Eichbedingung tatsächlich anwenden, wird dieser letzte Term zu

\partial_{μ} [A_{ν} (\partial^{ν} A^{μ})]

$\partial_{\mu}[A_{\nu}(\partial^{\nu}A^{\mu})]$ . Danach wird das Problem zur Nebensache...

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Spielt ein zusätzlicher Term mit vier Divergenzen in einer Lagrange-Dichte eine Rolle für die Feldgleichungen?

Wie Sie sagen, heben sich in Ihrem Beispiel die Zeitderivate auf, sodass es kein Problem gibt. Ein Beispiel, bei dem diese Subtilität wichtig ist, ist die Einstein-Hilbert-Aktion. Es gibt nicht verschwindende Zeitableitungen an der Grenze. Die Lösung in diesem Fall besteht darin, Grenzbegriffe (Gibbons Hawking York Grenzbegriffe) hinzuzufügen, die die störenden Teile aufheben.
(a) Ich denke, Sie meinen Lorenz-Messgerät, nicht Lorentz. (b) Wenn Sie diese Eichbedingung tatsächlich anwenden, wird dieser letzte Term zu $\partial_{\mu}[A_{\nu}(\partial^{\nu}A^{\mu})]$ . Danach wird das Problem zur Nebensache...

QMechaniker · Answer 1

I) Das geometrische Argument ist klar: Betrachten Sie eine Lagrange-Dichte ${\cal L}=d_{\mu}F^{\mu}$ das ist eine totale Divergenz. Die entsprechende Aktion

\begin{matrix} (0) & S [ϕ] = \int_{M} D^{N} X L = \int_{\partial M} D^{N - 1} X (\dots) \end{matrix}

$S[\phi] ~=~ \int_M \! d^nx~{\cal L}~=~ \int_{\partial M} \! d^{n-1}x~(\ldots)\tag{0}$

wird dann aufgrund des Divergenzsatzes ein Randintegral sein . Daher das entsprechende Variations-/Funktionsderivat ,

\begin{matrix} (1) & \frac{δ S}{δ ϕ^{a} (X)} \end{matrix}

$\frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}\tag{1}$

das ein Objekt ist, das in der Masse (eher als auf der Grenze) lebt, kann in der Masse niemals anders als identisch Null sein

\begin{matrix} (2) & \frac{δ S}{δ ϕ^{a} (X)} \equiv 0, \end{matrix}

$\frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}~\equiv~0,\tag{2}$

wenn es existiert. (Hinweis: Auch für eine ausreichend glatte Lagrange-Dichte ${\cal L}$ , ist die Existenz der funktionalen Ableitung ein nicht triviales Problem und daran gebunden, ob konsistente Randbedingungen in der Variation angenommen werden oder nicht.)

Erinnern Sie sich als Nächstes daran, dass (der Ausdruck für) die Feldbewegungsgleichungen einfach durch die funktionale Ableitung (1) der Wirkung gegeben ist. Dann nach Gl. (2), (der Ausdruck für) die Feldgleichungen der Bewegung verschwinden identisch.

II) Erweitern Sie schließlich das obige Argument aus Abschnitt I um Linearität auf eine allgemeine Lagrange-Dichte der Form ${\cal L}+d_{\mu}F^{\mu}$ die einen zusätzlichen Gesamtdivergenzterm enthalten. Schließen Sie über die Linearität, dass letztere nicht zu den Feldgleichungen der Bewegung beiträgt.

Könnten Sie in Ihrem letzten Absatz etwas näher erklären, wie Linearität zu der Schlussfolgerung führt?
Die ursprüngliche Frage bezog sich auf eine Abweichung von vier, aber Sie beziehen sich in Ihrer Antwort auf eine vollständige Abweichung, dh $\partial_u F^u$ gegen $d_u F^u$ . Gilt Ihr Ergebnis nur für die totale Divergenz?
Dann die Grenze $\partial M$ ist 0-dimensional, zB ein Anfangs- und ein Endpunkt.

löwenbrits · Answer 2

Ein Begriff $\int\!d^4x\, \operatorname{Tr}\, F \wedge F$ kann zu einer nicht-Abelschen Yang-Mills-Theorie hinzugefügt werden (sie verschwindet trivial für den abelschen Fall wegen des Keils), und es ist eine totale Ableitung. Dieser Term beeinflusst die Bewegungsgleichungen nicht. Dies ist jedoch eine topologische Ladung , die so etwas wie die "Wicklungszahl" des Eichfelds zählt.

Ein anderer Ort, an dem dies auftritt, ist die Stringtheorie, wo es die Anzahl der Handles im Worldsheet zählt, wodurch eine zweite Quantisierung ziemlich natürlich entstehen kann.

Danu · Answer 3

Wenn Sie innerhalb eines Integrals über die gesamte Raumzeit eine vierfache Divergenz haben (was Sie erhalten, wenn Sie die Aktion extremisieren), ist das Ergebnis ein Term, der ein Produkt des Feldes (der Felder) und seiner / ihrer Ableitungen ist, bewertet an der Grenze der Raumzeit. Da wir davon ausgehen, dass alle Felder an der Grenze gegen Null gehen (ausreichend schnell, damit ihre Ableitungen auch gegen Null gehen), haben wir einen Beitrag von Null und können den Term getrost ignorieren.

Es könnte jedoch einige Feinheiten geben, die einen davon abhalten könnten, dieses Argument in einigen Fällen zu verwenden, die mir nicht bekannt sind. Ich hoffe, dass jemand, der sich besser auskennt als ich, etwas Licht ins Dunkel bringen kann.

BEARBEITEN: Sehen Sie sich die Kommentare unten an, um einige zusätzliche Informationen zu erhalten.

Das Integral geht nicht gegen Null. Ein Teil der Grenze des Raum-Zeit-Bereichs befindet sich im räumlichen Unendlichen, ein Teil jedoch an den Zeitscheiben für die Anfangs- und Endzeit. Da Sie aber die Freiheitsgrade (hier das Feld) beim Anfangs- und Endzeitpunkt nicht variieren, trägt dieser Teil des Integrals nicht zur Variation der Aktion bei. Wenn Sie also die Variation der Aktion finden, um die Feldgleichungen zu erhalten, existieren diese Terme nicht, da sie keine Variation verursachen.
Fair genug. Ich glaube, ich habe Vorkenntnisse über Lagrange-Methoden in Nicht-Feldkontexten vorausgesetzt.

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