Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung

123hoedjevan gibt Ihnen eine falsche Antwort. Das Prinzip der geringsten Wirkung besagt, dass die physikalische Konfiguration des Feldsystems ein Minimum der Wirkung in Bezug auf kompakt gelagerte Variationen der Felder realisiert, die dann aufgrund der Definition von kompakt gelagert auf der Grenze des Trägers selbst verschwinden müssen . Das wiederum bedeutet in der Formel

$$\delta S=\int_{\Omega}d^{d}x\ \bigg[\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}}-\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\bigg)\,\delta\phi\bigg]+\int_{\Omega}d^{d}x\ \partial_{\mu}\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)$$ ( $d=\dim \Omega$), $\Omega$muss kompakt sein. Nun, was den letzten Begriff betrifft, erhalten wir $$\int_{\Omega}d^{d}x\ \partial_{\mu}\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)=\int_{\partial\Omega}d^{d-1}x_{\mu}\ \bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)$$ wo ich mit bezeichnet habe $d^{d-1}x_{\mu}$das (orientierte) Volumenelement der Grenze $\partial\Omega$. Die Identität folgt aus dem Satz von Stoke, der (in einer seiner vielen Formen) besagt, dass Sie eine Funktion haben $f$auf einer kompakten Menge definiert $\Omega$, Dann $$\int_{\Omega} d^{d}x\ \big(\partial_{\mu}\,f\big)=\int_{\partial\Omega} d^{d-1}x\ \big(f\ n_{\mu}\big)$$ Wo $\partial\Omega$ist die Grenze von $\Omega$Und $n_{\mu}$sind die Komponenten des Vektorfeldes normal zu $\partial \Omega$(beachte das $n_{\mu}\,d^{d-1}x$und meine Definition von $d^{d-1}x_{\mu}$sind dasselbe). Der Beweis des Theorems kann leicht in Standardlehrbüchern oder im Internet gefunden werden. Zurück zu unserem Integral, as $\delta\phi$ist per Definition (dh als Teil der Hypothesen des Theorems) auf der Grenze von Null $\Omega$, $$\int_{\Omega}d^{d}x\ \partial_{\mu}\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)=\int_{\partial\Omega}d^{d-1}x_{\mu}\ \bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\,\delta\phi\bigg)=\int_{\partial\Omega}d^{d-1}x_{\mu}\ 0=0$$ daher als $\delta S=0$, $$\delta S=\int_{\Omega}d^{d}x\ \bigg[\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}}-\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}\bigg)\,\delta\phi\bigg]=0$$ und da dies für jeden Kompakten gelten muss $\Omega$und alle kompakt unterstützt $\delta\phi$, $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}}-\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\, \partial_{\mu}\phi}=0$$ Die Kompaktheit von $\Omega$(und damit die Kompaktheit der Variation der Felder) kann zwar aus den Hypothesen des Theorems entfernt werden, solange das Wirkungsintegral auf wohldefiniert ist $\Omega$. Andererseits kann den Hypothesen nicht entzogen werden, dass die Variation an der Grenze des Integrationsbereichs verschwinden muss. Daher gilt ersteres immer noch für nicht-kompakt $\Omega$'S.

Beim Beweis des Satzes von Noether (der sich vom Beweis der Äquivalenz zwischen Minimierung und den Euler-Lagrange-Gleichungen unterscheidet und letztendlich von genau diesem Beweis abhängt) lässt man Variationen zu, die an der Grenze des Integrationsbereichs nicht verschwinden; Darüber hinaus erlaubt der Satz von Noether in seiner üblichen Formulierung, dass die Koordinaten des Integrationsbereichs variiert werden. In diesem Zusammenhang entsteht der Noetherstrom als divergenzloses Feld, und der Noetherstrom wird als definiert

$$j^{\mu}=-T^{\mu}_{\nu}\ \delta x^{\nu}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\,\partial_{\mu}\phi}\ \delta\phi$$ Wo $$T^{\mu}_{\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\,\partial_{\mu}\phi}\ \partial_{\nu}\phi-\mathcal{L}\ \delta^{\mu}_{\nu}$$ ist der kanonische Energie-Impuls-Tensor.

Die wirkliche Antwort ist: Es tut nicht wirklich. Oder besser gesagt: wir können noch etwas Physik daraus extrahieren! Lassen Sie uns ableiten

$$S[\phi] = \int d^d x \mathcal{L}[\phi,\partial\phi]\\ \delta S[\phi] = \int d^dx \delta \mathcal{L} = \int d^dx \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta (\partial_\mu\phi) \right)$$ das verwenden wir erstmal $\delta$Und $\partial$pendeln und dann die Leibniz-Regel bekommen $$= \int d^dx \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \partial_\mu(\delta \phi) \right)\\ = \int d^dx \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) - \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right) \delta \phi \right)\\ = \int d^dx \left( \underbrace{\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi}\right) \right)}_\text{EoM = 0} \delta \phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) \right) = 0\\ $$ Also bleibt uns übrig $$\delta S [\phi] = \int_{\mathbb{R}^n} d^d x \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) = 0 \\ $$ Es gibt 2 Möglichkeiten, wie dies sein kann $0$.

• Zuerst sehen wir, dass wir durch Stokes die GLOBAL-Anweisung erhalten

  $$\delta S [\phi] = \int d \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) = \left.\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right|_{\partial \mathbb{R}^n} =0 \\ $$ wo wir normalerweise davon ausgehen, dass alle Felder verschwinden$\partial \mathbb{R}^n$, dh im Unendlichen.

• Ein anderer Weg zu bekommen$\delta S = 0$(und in gewissem Sinne ein physikalischer und mathematisch strengerer Weg) besteht darin, die LOCAL-Anweisung zu fordern$\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi \right) = 0$. Dies ist genau der konservierte Strombedarf:$\partial_\mu j^\mu = 0$. Das finden wir also

  $$j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \partial_\mu\phi} \delta \phi$$ ist der der Variation zugeordnete konservierte Strom$\delta\phi$.