Ableitungen höherer Ordnung im Lagrange

Question

Ableitungen höherer Ordnung im Lagrange

Schwierigkeit

Ich versuche, die Bewegungsgleichungen für einen Lagrange abzuleiten, der davon abhängt $(q, \dot{q}, \ddot{q}).$ Ich verfahre auf dem typischen Weg über das Hamilton-Prinzip, $\delta S = 0$ durch eine Variation $\epsilon \eta$ auf dem Weg mit $\eta$ glatt und verschwindend an den Endpunkten. Nach einigem Integrieren von Teilen und Verschwinden von Oberflächentermen komme ich zu (zur ersten Ordnung in $\epsilon$ ):

δ S = \int [η \frac{\partial L}{\partial Q} - η \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}) + η \frac{D^{2}}{D T^{2}} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}}) + \frac{D^{2}}{D T^{2}} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}} η)] D T .

$\delta S = \int\left[\eta\frac{\partial L}{\partial q} - \eta\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) + \eta\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) + \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \eta \right)\right]\mathrm{d} t.$

Mir ist klar, dass entweder der letzte Term im obigen Integral verschwinden sollte, oder ich einen Fehler gemacht habe und er überhaupt nicht erscheinen sollte. Wenn es der erstere Fall ist, durch welches Argument verschwindet dieser Begriff?

Kokosnuss

Es ist eine totale Ableitung, wenn Sie es also integrieren, erhalten Sie es

\frac{d}{d t} (η \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}})

$\frac{d}{dt}\left(\eta\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right)$ , die verschwindet, wenn

η = \dot{η} = 0

$\eta=\dot{\eta}=0$ an den Endpunkten.

Schwierigkeit

@AccidentalFourierTransform, ich verstehe, dass "Standardargument" hier das von Gl. (2.8) in Landau; dort schreibt er vor, dass es sich um eine totale Ableitung einer Funktion handelt

f = f (q, t),

$f = f(q,t),$ was hier nicht der Fall ist.

Jahan Claes

@Diffycue Aber es ist! Es ist die totale Ableitung von

f (q, t) = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} η

$f(q,t)=\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \ddot q}\eta$ . Hier

η

$\eta$ ist eine Funktion von

t

$t$ , und die Ableitung der Lagrangefunktion ist eine Funktion von

q

$q$ und seine Derivate. Welcher Teil gefällt dir nicht?

Schwierigkeit

Vielen Dank für Ihre Antwort. @JahanClaes Der Teil, den ich nicht mag, ist das

q,

$q,$

\dot{q}

$\dot{q}$ ,

\ddot{q}

$\ddot{q}$ sind im Variationsformalismus als unabhängige Koordinaten zu behandeln; also dann glaube ich nicht das es so ist

\frac{d}{d t} [\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} η]

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left[\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \eta\right]$ ist nur eine Funktion von

q

$q$ Und

t,

$t,$ denn es ist nicht so, dass wir schreiben können

\dot{q}

$\dot{q}$ oder

\ddot{q}

$\ddot{q}$ als Funktionen von

q

$q$ Und

t

$t$ bevor Sie die Variation vornehmen. Ist die Wurzel meiner Verwirrung klarer?

Kokosnuss

Wenn Sie es mit einem Lagrange zu tun haben, hängt das davon ab

q

$q$ ,

\dot{q}

$\dot{q}$ Und

\ddot{q}

$\ddot{q}$ dann würde ich sagen, dass das übliche Verschwinden von Gesamtableitungen nicht wahr ist, es sei denn, Sie stellen die zusätzliche Bedingung auf, dass die Ableitung von

q

$q$ verschwindet auf den Endpunkten.

Schwierigkeit

@coconut, ich gebe zu, dass der Begriff verschwindet, wenn wir das angeben

\dot{η} = 0

$\dot{\eta} = 0$ an den Endpunkten. Aber der Ansatz, den Landau verfolgt, ist folgender: „Lasst das System besetzen, in den Augenblicken

t_{1}

$t_1$ Und

t_{2}

$t_2$ , Positionen, die durch zwei Sätze von Werten der Koordinaten definiert sind,

q^{(1)}

$q^{(1)}$ Und

q^{(2)} .

$q^{(2)}.$ „Das rechtfertigt es, die Variation auf den Pfad zu setzen

0

$0$ an den Endpunkten; Was ist die Rechtfertigung für die Einstellung seiner Zeitableitung?

0

$0$ Hier? (Bearbeiten: Ich habe diesen Kommentar als Antwort auf Ihren ersten Kommentar geschrieben, aber ich glaube nicht, dass die Frage durch Ihren zweiten Kommentar beantwortet wird, also lasse ich das stehen.)

Jahan Claes

@Diffycue Ich glaube, er hat deine Frage beantwortet. Sie müssen davon ausgehen

\dot{η} = 0

$\dot\eta=0$ an den Endpunkten, um die richtige Antwort zu erhalten. Landau hat dies nicht getan, weil er keinen Lagrangian in Betracht zog, der davon abhing

\ddot{q}

$\ddot q$ . Ferner gilt die Landau-Gleichung 8 ausdrücklich nur für eine Lagrange-Funktion, die von abhängt

q, \dot{q}

$q,\dot q$ .

Kokosnuss

@Diffycue Wenn Sie eine haben

\ddot{q}

$\ddot{q}$ -abhängigen Lagrangian, wird die Bewegungsgleichung im Allgemeinen von der Ordnung vier (statt zwei) sein. Das bedeutet, dass wir statt zwei Bedingungen (den Positionen an den Endpunkten) vier benötigen. Wir können dies tun, indem wir sowohl die Position als auch die Geschwindigkeit an den Endpunkten festlegen, was bedeutet, dass

η = \dot{η} = 0

$\eta=\dot{\eta}=0$ Dort

Kokosnuss

Ich habe eine Antwort gepostet, die zusammenfasst, was ich hier gesagt habe

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/109518/2451 , physical.stackexchange.com/q/119750/2451 , physical.stackexchange.com/q/169419/2451 und Links darin.

Antworten (1)

Ableitungen höherer Ordnung im Lagrange

Es ist eine totale Ableitung, wenn Sie es also integrieren, erhalten Sie es $\frac{d}{dt}\left(\eta\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right)$ , die verschwindet, wenn $\eta=\dot{\eta}=0$ an den Endpunkten.
@AccidentalFourierTransform, ich verstehe, dass "Standardargument" hier das von Gl. (2.8) in Landau; dort schreibt er vor, dass es sich um eine totale Ableitung einer Funktion handelt $f = f(q,t),$ was hier nicht der Fall ist.
@Diffycue Aber es ist! Es ist die totale Ableitung von $f(q,t)=\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \ddot q}\eta$ . Hier $\eta$ ist eine Funktion von $t$ , und die Ableitung der Lagrangefunktion ist eine Funktion von $q$ und seine Derivate. Welcher Teil gefällt dir nicht?
Vielen Dank für Ihre Antwort. @JahanClaes Der Teil, den ich nicht mag, ist das $q,$ $\dot{q}$ , $\ddot{q}$ sind im Variationsformalismus als unabhängige Koordinaten zu behandeln; also dann glaube ich nicht das es so ist $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left[\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \eta\right]$ ist nur eine Funktion von $q$ Und $t,$ denn es ist nicht so, dass wir schreiben können $\dot{q}$ oder $\ddot{q}$ als Funktionen von $q$ Und $t$ bevor Sie die Variation vornehmen. Ist die Wurzel meiner Verwirrung klarer?
Wenn Sie es mit einem Lagrange zu tun haben, hängt das davon ab $q$ , $\dot{q}$ Und $\ddot{q}$ dann würde ich sagen, dass das übliche Verschwinden von Gesamtableitungen nicht wahr ist, es sei denn, Sie stellen die zusätzliche Bedingung auf, dass die Ableitung von $q$ verschwindet auf den Endpunkten.
@coconut, ich gebe zu, dass der Begriff verschwindet, wenn wir das angeben $\dot{\eta} = 0$ an den Endpunkten. Aber der Ansatz, den Landau verfolgt, ist folgender: „Lasst das System besetzen, in den Augenblicken $t_1$ Und $t_2$ , Positionen, die durch zwei Sätze von Werten der Koordinaten definiert sind, $q^{(1)}$ Und $q^{(2)}.$ „Das rechtfertigt es, die Variation auf den Pfad zu setzen $0$ an den Endpunkten; Was ist die Rechtfertigung für die Einstellung seiner Zeitableitung? $0$ Hier? (Bearbeiten: Ich habe diesen Kommentar als Antwort auf Ihren ersten Kommentar geschrieben, aber ich glaube nicht, dass die Frage durch Ihren zweiten Kommentar beantwortet wird, also lasse ich das stehen.)
@Diffycue Ich glaube, er hat deine Frage beantwortet. Sie müssen davon ausgehen $\dot\eta=0$ an den Endpunkten, um die richtige Antwort zu erhalten. Landau hat dies nicht getan, weil er keinen Lagrangian in Betracht zog, der davon abhing $\ddot q$ . Ferner gilt die Landau-Gleichung 8 ausdrücklich nur für eine Lagrange-Funktion, die von abhängt $q,\dot q$ .
@Diffycue Wenn Sie eine haben $\ddot{q}$ -abhängigen Lagrangian, wird die Bewegungsgleichung im Allgemeinen von der Ordnung vier (statt zwei) sein. Das bedeutet, dass wir statt zwei Bedingungen (den Positionen an den Endpunkten) vier benötigen. Wir können dies tun, indem wir sowohl die Position als auch die Geschwindigkeit an den Endpunkten festlegen, was bedeutet, dass $\eta=\dot{\eta}=0$ Dort
Ich habe eine Antwort gepostet, die zusammenfasst, was ich hier gesagt habe
Verwandte: physical.stackexchange.com/q/109518/2451 , physical.stackexchange.com/q/119750/2451 , physical.stackexchange.com/q/169419/2451 und Links darin.

Kokosnuss · Answer 1

Das musst du durchsetzen $\eta(t_0)=\eta(t_1)=\dot{\eta}(t_0)=\dot{\eta}(t_1)=0$ Wo $t_0$ Und $t_1$ sind die Endpunkte des Zeitintervalls, über das Sie integrieren. Dann lautet der letzte Term:

\int_{T_{0}}^{T_{1}} \frac{D^{2}}{D T^{2}} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}} η) D T = {[\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}} η)]}_{T_{0}}^{T_{1}} = {[η \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}})]}_{T_{0}}^{T_{1}} + {[\dot{η} \frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}}]}_{T_{0}}^{T_{1}} = 0

$\begin{equation} \int_{t_0}^{t_1}\frac{d^2}{dt^2} \left(\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}\eta\right)dt = \left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}\eta\right)\right]_{t_0}^{t_1} = \left[\eta\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}\right)\right]_{t_0}^{t_1}+ \left[\dot{\eta}\frac{\partial L}{\partial\ddot{q}}\right]_{t_0}^{t_1} = 0 \end{equation}$ Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet dann:

\frac{\partial L}{\partial Q} - \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}) + \frac{D^{2}}{D T^{2}} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}}) = 0

$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) + \frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) = 0 \end{equation}$ Als Begründung für die Bedingungen rüber

η

$\eta$ und seine Ableitung an den Endpunkten beachten, dass im Allgemeinen

\partial L / \partial \ddot{q}

$\partial L/\partial\ddot{q}$ kann abhängen

\ddot{q}

$\ddot{q}$ , also ist die Bewegungsgleichung von vierter Ordnung. Um eine Lösung zu erhalten, werden vier Bedingungen benötigt. Im Fall von

L

$L$ abhängig nur von

q

$q$ Und

\dot{q}

$\dot{q}$ , für eine Gleichung zweiter Ordnung brauchten wir zwei Bedingungen: Festlegung

q (t_{0})

$q(t_0)$ Und

q (t_{1})

$q(t_1)$ . Im Fall vierter Ordnung ist es vernünftig zu beheben

q (t_{0})

$q(t_0)$ ,

q (t_{1})

$q(t_1)$ ,

\dot{q} (t_{0})

$\dot{q}(t_0)$ Und

\dot{q} (t_{1})

$\dot{q}(t_1)$ .

Daher als $\delta q=\epsilon\eta$ Und $\delta \dot{q}=\epsilon\dot{\eta}$ wir haben das $\eta(t_0)=\eta(t_1)=\dot{\eta}(t_0)=\dot{\eta}(t_1)=0$ .

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Kokosnuss

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Jahan Claes

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Kokosnuss

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Jahan Claes

Kokosnuss

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