Warum ist die Variation eines Oberflächenterms Null?

Meine ursprüngliche Frage lautet wie folgt:

Warum sind die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant, wenn wir der Wirkung einen Oberflächenterm hinzufügen?

Und es gibt eine Antwort von Javier:

https://physics.stackexchange.com/a/205585/

Ich habe einige Fragen zu Javiers Antwort, aber als neuer Benutzer kann ich sie nicht kommentieren, also muss ich diese Frage stellen.

In Javiers Antwort sagte er:

Angenommen, Sie haben einen Lagrange$L_0$und fügen Sie eine Divergenz hinzu, um zu erhalten$L=L_0+∂_μJ^μ$. Denken Sie daran, dass die Aktion (in Ihrer bevorzugten Anzahl von Dimensionen) ist:

$$S=∫dx L=S_0+∫dx ∂_μJ^μ=S0+∫dS n_μJ^μ$$ Hier $S_0$ist das Integral von $L_0$, Und $n_μ$der normale Vektor zu Ihrer Grenze. Die Bewegungsgleichungen sind die Bedingung dafür $δS=0$zur Erstbestellung, wenn wir eine Variation vornehmen $L$. So: $$δS=δS_0+∫dS n_μδ(J^μ)$$ Aber $J_μ$wird aus den Feldern konstruiert, für die Sie die Bewegungsgleichungen benötigen. Da nach der Hypothese die Variation der Felder an der Grenze Null ist, ist dies auch die Variation von $J_μ$. Der letzte Term verschwindet, und wir erhalten $δS=δS_0$.

Aber

$$\delta J^{\mu }=\frac{\partial J^{\mu }}{\partial \phi }\delta \phi +\frac{\partial J^{\mu }}{\partial(\partial_{\nu}\phi)}\delta (\partial_{\nu}\phi)$$ und wir haben nur $\delta \phi=0$in der Grenze, und im Allgemeinen haben wir nicht $\delta (\partial_{\nu}\phi)=0$, warum also die Variation von $J_μ$ist null?

Als ich die Antwort auf meine ursprüngliche Frage fand, fand ich sie in einem Buch, das der Autor schreibt$J^{\mu }$als$J^{\mu }=J^{\mu }(\phi(x),x)$, das ist$J^{\mu }$ist nur eine Funktion von$\phi(x)$Und$x$aber nicht von$\partial_{\nu}\phi$. Wenn wir schreiben$J^{\mu }$so haben wir:

$$\delta J^{\mu }=\frac{\partial J^{\mu }}{\partial \phi }\delta \phi$$ und die Variation von $J_μ$ist null wegen $\delta \phi=0$in der Grenze. Und das können wir auch beweisen: $$\left(\frac{\partial }{\partial \phi }-\partial _{\nu }\frac{\partial }{\partial(\partial_{\nu}\phi)}\right)(∂_\mu J^\mu)=0$$ also haben wir: $$\frac{\partial L}{\partial \phi }-\partial _{\mu }\frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}=\frac{\partial L_0}{\partial \phi }-\partial _{\mu }\frac{\partial L_0}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$$ die Bewegungsgleichung ist also invariant.

Aber in einigen Büchern erwähnt der Autor den Zustand nicht$J^{\mu }=J^{\mu }(\phi(x),x)$, ist diese Bedingung also eine notwendige Bedingung dafür, dass die Variation eines Oberflächenterms Null ist?