Ich nehme diesen Lagrange:
In diesem Thema Spielt ein zusätzlicher Term mit vier Divergenzen in einer Lagrange-Dichte eine Rolle für die Feldgleichungen? , wird gesagt, dass jeder 4-Divergenz-Term, der zu einem Lagrange hinzugefügt wird, die Bewegungsgleichung nicht modifiziert.
In meinem Beispiel füge ich hinzu Zu (es ist keine 4-Divergenz, aber die Mechanik dahinter ist genau die gleiche). Und ich bemerke, dass es die Bewegungsgleichung ändern kann, wenn enthält Zeitableitungen von . Also verstehe ich nicht.
Ich schreibe die infinitesimale Aktionsvariation auf :
Das weiß ich wie immer: . Damit kann ich partiell integrieren:
Wir haben:
In der Tat, an den Grenzen durch Hypothese ( für Raumkoordinaten und für die Zeit).
Wir haben auch:
** Und hier ist mein Problem **.
Die Tatsache impliziert das nicht .
Genauer gesagt könnte es wahr sein, wenn (*) aber wenn ich die Zeitkoordinaten nehme, habe ich . So ist es zumindest nicht wahr .
Daher der zusätzliche Begriff modifiziert die Extremalität der Aktion. Daher werde ich nicht die gleiche Bewegungsgleichung haben.
Aber in diesem Thema: Spielt ein zusätzlicher Term mit vier Divergenzen in einer Lagrange-Dichte eine Rolle für die Feldgleichungen? Das Buch des Autors sagt, dass jede vierfache Divergenz die Bewegungsgleichung nicht beeinflusst.
Aber wir haben hier gesehen (wenn ich keinen Fehler gemacht habe, was überhaupt nicht sicher ist), dass, wenn der zusätzliche Term eine totale Ableitung ist, die Zeitableitungen des Feldes enthält, er die Bewegungsgleichungen ändern kann.
Wo liege ich falsch?
(*) : es ist wahr, weil wir fragen unendlich auf null zu gehen, also erlauben wir nur Variationen von die im Unendlichen verschwinden (sonst würden wir enden mit nicht integrierbar). Und wie geht zu im Unendlichen auch alle seine Ableitungen.
Die korrekte Aussage ist, dass ein Grenzterm (BT) in der Aktion (oder äquivalent ein Term der totalen Divergenz in der Lagrange-Dichte) die funktionale / variierende Ableitung nicht ändert, wenn sowohl die alten als auch die neuen funktionalen Ableitungen existieren. Achten Sie auf das wichtige Wort if im vorherigen Satz: Dies schließt die Möglichkeit nicht aus, dass ein Funktional/Variational nicht existiert.
Damit funktionale Ableitungen existieren können, müssen angemessene Randbedingungen (BCs) auferlegt werden. Ein Grenz-/Gesamtdivergenzterm kann den angemessenen Satz von BCs ändern.
Im Beispiel von OP hat er richtig festgestellt, dass Dirichlet-BCs nicht ausreichen, um BTs in der Variation zu entfernen.
Zusammenfassend: OP hat nicht gezeigt, dass zwei verschiedene Sätze von Euler-Lagrange-Gleichungen existieren, vgl. die Titelfrage (v6). Nur dass einige Auswahlmöglichkeiten von BTs und BCs das Variationsproblem schlecht definiert machen können.
Für den punktmechanischen Fall siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag. Der feldtheoretische Fall ist eine einfache Verallgemeinerung.
An der Grenze, .
Denken Sie in Begriffen des eindimensionalen Variationsprinzips. In diesem Fall findet man die Äquivalenz . Also wenn man nimmt an der Grenze erhalten wir sofort sowie.
Dies gilt für jedes Variationsprinzip mit der gegebenen Randbedingung in jeder Dimension. Ich hoffe, das löst Ihre Verwirrung.
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