Gesamtableitung in Aktion der Feldtheorie

Schau dir genauer an, was du schreibst. Ich werde es nicht mit all den partiellen Ableitungen und Lagrangianern schreiben, weil die Verwirrung nicht davon abhängt:

1. Die Forderung nach räumlicher Unendlichkeit entsteht, weil$\int_\mathcal{M} \mathrm{d}\omega \neq \omega$, Aber$\int_\mathcal{M} \mathrm{d}\omega = \int_{\partial\mathcal{M}}\omega$(Theorem von Stokes). Damit der letztere Begriff verschwindet, genügt dies$\omega$verschwindet an$\partial\mathcal{M}$. Da sind die Integrale vorbei$\mathbb{R}^4$, die Grenze unseres Raumes ist "unendlich". (Da man solche Integrale zB berechnen würde, indem man sie über einen 4-Ball-Radius nimmt$r$und schicke das an$\infty$.)

2. Beachten Sie das, wenn$\mathcal{L}$ist die Lagrange-Dichte, dh a$0$-Form, dann seine Ableitung in Bezug auf$\partial_\mu\phi$ist ein Vektorfeld, da es obere Lorentz-Indizes hat. Und für jedes Vektorfeld$v$, der Ausdruck$\partial_\mu v^\mu = \partial^\mu v_\mu$ist genau die Komponente der Ableitung des Poincaré-Duals$3$-form$v^\mu \epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}\mathrm{d}x^\nu\wedge\mathrm{d}x^\sigma\wedge\mathrm{d}x^\rho$, dh die Ableitung des Poincaré-Duals ist gerade$\partial_\mu v^\mu \mathrm{d}^4 x$(Bis auf Konstanten bin ich zu faul zum jagen). Daher ist Integrieren das Integrieren einer exakten Form über ein Volumen, das sich nach dem Satz von Stokes auf die Grenzwerte von reduziert$3$-Form ist es eine Ableitung von. Da die Dualität eine Bijektion ist, gilt if$v^\mu$verschwindet, so muss sein dualer, rechtfertigender Blick nur auf den Wert von$\partial_\phi \mathcal{L} \delta \phi$an der Grenze. Entsprechend könnte man einfach den Index von verringern$v^\mu$ein bekommen$1$-form$v_\mu\mathrm{d}x^\mu$, wende die Hodge-Dualität darauf an, um a zu erhalten$3$-Form, nehmen Sie die Ableitung davon und erhalten Sie dasselbe$4$-Form mit Koeffizient$\partial_\mu v^\mu$.