Satz von Noether mit unendlichen Parametern

Question

Satz von Noether mit unendlichen Parametern

Physik
Symmetrie
Feldtheorie
Noethers-Theorem
lagrangescher Formalismus
Klassische-Feld-Theorie

Bence Racskó

Ich versuche, etwas in Bezug auf Noethers Theorem zu verstehen - und mit der gegebenen Situation ist meine Frage keine so große Frage, ich suche eher nur nach Bestätigung, ob ich richtig denke oder nicht.

Die Situation:

Lassen $\mathcal L$ sei eine Lagrange-Dichte, abhängig von einem Feld $\phi$ , und seine erste Ableitung. Der Satz von Noether besagt (naiverweise), dass wenn $\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon\delta\phi(x)$ ist eine spezifische infinitesimale Verformung des Felds (genauer gesagt wäre dies eine glatte 1-Parameter-Familie endlicher Verformungen - und wir interessieren uns für Verhaltensweisen unter $d/d\epsilon|_{\epsilon=0}$ ), so dass $\mathcal L$ ändert sich durch eine Divergenz ( $\delta\mathcal L=\partial_\mu K^\mu$ ), dann der Strom

J^{μ} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} δ ϕ - K^{μ}

$j^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi-K^\mu$ wird auf der Schale konserviert.

Es ist bekannt, dass diese durch Herstellen in eine andere Form umgegossen werden können $\epsilon$ eine Funktion statt eines Parameters sein. Dann ist die Aktion im Allgemeinen nicht invariant, aber die Verformung der Aktion ergibt den gleichen Strom $j^\mu$ , und ihre Erhaltung kann gezeigt werden.

Das Problem ist, dass dies keinen Sinn ergibt, imo. Um dies zu zeigen, betrachte das Folgende, let $\epsilon(x)$ sei der "infinitesimale" Funktionsparameter, die Variation ist

ϕ (X) \mapsto ϕ (X) + ϵ (X) δ ϕ (X) .

$\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon(x)\delta\phi(x).$ Lassen Sie uns definieren

ϵ^{'} (x)

$\epsilon'(x)$ Und

ϵ

$\epsilon$ als

ϵ (x) = ϵ ϵ^{'} (x)

$\epsilon(x)=\epsilon\epsilon'(x)$ , wo nur hier

ϵ

$\epsilon$ ist „unendlich klein“. Jetzt hat die Variation die Form

ϕ (X) \mapsto ϕ (X) + ϵ ϵ^{'} (X) δ ϕ (X) .

$\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon\epsilon'(x)\delta\phi(x).$ Jetzt definieren wir neu

δ ϕ (x)

$\delta\phi(x)$ Zu

δ ϕ^{'} (x) = ϵ (x) δ ϕ (x)

$\delta\phi'(x)=\epsilon(x)\delta\phi(x)$ , dann hat die Variation die Form

ϕ (X) \mapsto ϕ (X) + ϵ δ ϕ^{'} (X) .

$\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon\delta\phi'(x).$

Dies ist buchstäblich dieselbe Form, die wir hatten, bevor wir angenommen haben $\epsilon$ ist eine Funktion.

Das wirft also die Frage auf - was meinen wir mit einer Variation mit "unendlichen Parametern"? Das Problem wird eindeutig dadurch verursacht, dass if $\delta\phi(x)$ spezifisch, aber einigermaßen willkürlich ist, dann enthält diese immer noch so viele "freie Parameter", wie die verschiedenen möglichen Werte für $x$ . Im Wesentlichen, $\delta\phi(x)$ enthält bereits unendlich viele Parameter.

Die Auflösung:

Betrachtet man konkrete Beispiele, wie z $U(1)$ Transformation des freien, massiven, komplexen Klein-Gordon-Feldes, die endliche Transformation ist

ϕ (X) \mapsto e^{ich ϵ} ϕ (X) .

$\phi(x)\mapsto e^{i\epsilon}\phi(x).$ Unendlich, das ist

ϕ (X) \mapsto ϕ (X) + ich ϵ ϕ (X),

$\phi(x)\mapsto \phi(x)+i\epsilon\phi(x),$ So

δ ϕ (X) = ich ϕ (X) .

$\delta\phi(x)=i\phi(x).$

Hier sehen wir, das $\delta\phi(x)$ kommt drauf an $x$ nur durch das ungestörte Feld $\phi(x)$ selbst, also ist hier die Variation wirklich 1-Parameter.

Wenn wir dies für ein anderes archetypisches Beispiel tun – Raumzeit-Übersetzungen – erhalten wir die gleichen Ergebnisse.

Die Frage:

Habe ich recht, wenn ich sage, dass die übliche Form des Satzes von Noether angegeben werden sollte, dass wir Variationen der Form berücksichtigen

ϕ (X) \mapsto ϕ (X) + ϵ δ ϕ [ϕ (X), \partial ϕ (X)],

$\phi(x)\mapsto\phi(x)+\epsilon\delta\phi[\phi(x),\partial\phi(x)],$ Wo

δ ϕ

$\delta\phi$ ist eine spezifische Funktion des Feldes $\phi$ , und möglicherweise seine Ableitungen, aber nicht die Koordinaten $x$ ?

Denn nur dann macht es für mich Sinn zu diskutieren, ob die Variation endlich oder unendlich viele Parameter hat.

Antworten (2)

Satz von Noether mit unendlichen Parametern

QMechaniker · Answer 1

Lassen Sie uns die Frage von OP (v1) wie folgt umformulieren:

Kann in Noethers erstem Theorem die infinitesimale Variation explizit vom Raumzeitpunkt abhängen? $x^{\mu}$ ?

Antwort: Ja.

Beispiel: Lagrange-Formulierung. Betrachten Sie die Lagrange-Funktion

\begin{matrix} (L1) & L := T - v, T := \frac{M}{2} {\dot{Q}}^{2}, v := \frac{a}{Q^{2}} . \end{matrix}

$L~:=~T-V ,\qquad T~:=~\frac{m}{2}\dot{q}^2,\qquad V~:=~\frac{\alpha}{q^2}. \tag{L1}$ Wo

α

$\alpha$ ist eine Konstante. Das lässt sich leicht überprüfen

\begin{matrix} (L2) & δ Q = ε (Q - 2 T \dot{Q}), δ T = 0, \end{matrix}

$\delta q ~=~ \varepsilon (q-2t\dot{q}), \qquad \delta t ~=~0, \tag{L2}$ ist eine infinitesimale Quasisymmetrie

\begin{matrix} (L3) & δ L = \dots = ε \frac{D k^{0}}{D T}, k^{0} := - 2 T L . \end{matrix}

$\delta L ~=~\ldots ~=~\varepsilon\frac{dk^{0}}{dt}, \qquad k^0~:=~-2t L . \tag{L3}$ Hier

ε

$\varepsilon$ ist ein konstanter infinitesimaler Parameter. Die bloße Noether-Ladung ist

\begin{matrix} (L4) & Q^{0} = M \dot{Q} (Q - 2 T \dot{Q}) . \end{matrix}

$Q^0~=~m\dot{q}( q-2t\dot{q}). \tag{L4}$ Die volle Noetherladung

\begin{matrix} (L5) & Q := Q^{0} - k^{0} = M Q \dot{Q} - 2 T (T + v) \end{matrix}

$Q~:=~Q^0-k^0~=~mq\dot{q} -2t(T+V) \tag{L5}$ ist eine Erhaltungsgröße.

Beispiel: Hamiltonsche Formulierung. Betrachten Sie den Hamilton-Lagrange-Operator

\begin{matrix} (H1) & L_{H} = P \dot{Q} - H, H := \frac{P^{2}}{2 M} + \frac{a}{Q^{2}}, \end{matrix}

$L_H~=~p\dot{q}-H, \qquad H~:=~\frac{p^2}{2m}+\frac{\alpha}{q^2}, \tag{H1}$ Wo

α

$\alpha$ ist eine Konstante. Das lässt sich leicht überprüfen

\begin{matrix} (H2) & δ Q = ε (Q - \frac{2 T}{M} P), δ P = - ε (P + \frac{4 a T}{Q^{3}}), δ T = 0, \end{matrix}

$\delta q ~=~ \varepsilon \left( q-\frac{2t}{m}p\right), \qquad \delta p ~=~- \varepsilon \left( p+\frac{4\alpha t}{q^3}\right), \qquad \delta t ~=~0, \tag{H2}$ ist eine infinitesimale Quasisymmetrie

\begin{matrix} (H3) & δ L_{H} = \dots = ε \frac{D k^{0}}{D T}, k^{0} := 2 T (\frac{a}{Q^{2}} - \frac{P^{2}}{2 M}) . \end{matrix}

$\delta L_H ~=~\ldots ~=~\varepsilon\frac{dk^{0}}{dt}, \qquad k^0~:=~2t\left(\frac{\alpha}{q^2} -\frac{p^2}{2m}\right) . \tag{H3}$ Hier

ε

$\varepsilon$ ist ein konstanter infinitesimaler Parameter. Die bloße Noether-Ladung ist

\begin{matrix} (H4) & Q^{0} = P (Q - \frac{2 T}{M} P) . \end{matrix}

$Q^0~=~p\left( q-\frac{2t}{m}p\right). \tag{H4}$ Die volle Noetherladung

\begin{matrix} (H5) & Q := Q^{0} - k^{0} = Q P - 2 T H \end{matrix}

$Q~:=~Q^0-k^0~=~qp -2tH \tag{H5}$ ist eine Erhaltungsgröße. Dieses Beispiel wird in diesem Phys.SE-Beitrag weiter erörtert .

Parker · Answer 2

Dies sind alles gute Fragen, die eingehend untersucht wurden, mit höchst nicht trivialen Antworten, die leider zu kompliziert sind, um sie vollständig in einer Antwort abzudecken. Im Allgemeinen ja, Symmetrien können sowohl von Raumzeitkoordinaten als auch von Feldwerten abhängen, und die Formen der entsprechenden Noetherströme sind etwas anders als der übliche Ausdruck. Aus rein mathematischer und nicht aus physikalischer Sicht führt Sie die Betrachtung von Symmetrieoperationen mit unendlich vielen Freiheitsgraden vom Bereich von Noethers erstem Theorem zu dem von Noethers zweitem Theorem, bei dem es sich um eine mathematische Identität handelt, die vier Divergenzen bestimmter Ströme mit linearen Kombinationen von verbindet verschiedene Euler-Lagrange-Gleichungen. Siehe https://arxiv.org/abs/hep-th/0009058für eine ausführliche Diskussion von Noethers erstem und zweitem Theorem (der sehr sorgfältig unterscheidet, was infinitesimal ist, was eine Familie von Transformationen mit einem Parameter ist usw.), mit Zitaten zu viel relevanterer Literatur.

Satz von Noether mit unendlichen Parametern

Bence Racskó

Antworten (2)

QMechaniker

Parker

Ableitung des Satzes von Noether für Körper

Eindeutigkeit der Definition des Noetherstroms

Wie findet man die kontinuierlichen Transformationen, die die Aktion invariant lassen?

Spielt ein konstanter Faktor bei der Definition des Noetherstroms eine Rolle?

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Invarianz der Aktion vs. Lagrange im Satz von Noether?

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Satz von Noether: Bedeutung der Transformation von Koordinaten