Satz von Noether: Bedeutung der Transformation von Koordinaten

Die klassische Lagrange-Feldtheorie befasst sich mit Feldern$\phi: M \to N$, Wo$M$ist Raumzeit und$N$ist der Zielraum der Felder. Wir werden der Einfachheit halber anrufen$M$Und$N$den horizontalen bzw. den vertikalen Raum. OP fragt in dieser Terminologie im Wesentlichen

F: Was bedeuten horizontale Transformationen?

A: Es ist ein (horizontaler) Fluss in der Raumzeit$M$. Infinitesimal wird es durch ein (horizontales) Vektorfeld erzeugt$X\in\Gamma(M)$.

F: Wie können die horizontalen/raumzeitlichen Koordinaten wichtig sein, wenn sie nur Dummy-Variablen in der Aktion sind?$S=\int_{\Omega} \!d^4x~{\cal L}$?

A: Nun, wie Phoenix87 in seiner Antwort darauf hinweist, kann es einen Fluss in und aus der Integrationsregion geben$\Omega\subseteq M$die Grenzbeiträge erzeugen können. Darüber hinaus,$\Omega$wird oft als willkürlicher Integrationsbereich betrachtet.

Bereits Noether selbst betrachtete in ihrer wegweisenden Arbeit von 1918 sowohl horizontale als auch vertikale Transformationen . Es gibt viele Beispiele auf Phys.SE, wo horizontale Transformationen eine Rolle spielen. Siehe zB this und this Phys.SE posts.

Wenn Sie die Lagrange-Dichte über eine bestimmte Region integrieren$\Omega$, dies darf sich grundsätzlich ändern, und dies gibt Ihnen einen "Grenzwert" in der Variation. Dies wird z. B. im Buch von Goldstein (3. Auflage) gut diskutiert, wo der korrekte Beweis des Noether-Theorems gegeben wird.

Ich denke, dass ich nach 1,5 Jahren endlich die Antwort von Qmechanic schätzen kann. Lassen Sie mich versuchen zu formulieren, was meiner Meinung nach die ideale Antwort auf meine Frage gewesen wäre, und mich korrigieren, wenn ich falsch liege. Ich verwende die Symbole, wie sie in Weinbergs Quantentheorie der Felder definiert sind.

Ein Feld ist eine Funktion$\Psi: M \rightarrow N$, Wo$M$ist der Minkowski-Raum (den wir der Einfachheit halber den horizontalen Raum nennen) und$N$ist der Zielraum der Felder (den wir der Einfachheit halber den vertikalen Raum nennen).$N$kann zB der Raum von Skalaren, Vektoren, Dirac-Spinoren, antisymmetrischen Tensoren usw. sein. Um eine infinitesimale Transformation zu definieren$X \rightarrow X$(Wo$X$der Raum der Felder ist), können wir getrennte infinitesimale Transformationen im horizontalen und vertikalen Raum betrachten:

a) horizontale Transformation: Transformation des Typs$h:M\rightarrow M$. Ein Beispiel ist$x \mapsto x + \omega x$(Wenn$\omega$mit beiden Indizes nach oben oder unten ist antisymmetrisch, dies ist eine infinitesimale Lorentz-Transformation).

b) vertikale Transformation: Transformation des Typs$v:N \rightarrow N$. Ein Beispiel ist$\Psi \mapsto \Psi + \frac{i}{2}\omega^{\mu\nu} \mathcal J_{\mu\nu} \Psi$, Wo$J_{\mu\nu}:N\rightarrow N$sind die infinitesimalen Generatoren in der irreduziblen Darstellung der Lorentz-Gruppe, unter der die Elemente von$N$verwandeln.$\omega$ist wie oben definiert.

Wir können jetzt die Transformation von Feldern definieren $X \rightarrow X$durch Kombination einer horizontalen und einer vertikalen Transformation:$\Psi \mapsto \Psi'$mit$\Psi'(h(x)) := v(\Psi(x))$. Die Aktion ist nur eine Funktion der Felder selbst, aber wie wir sehen, hängt das transformierte Feld sowohl von einer vertikalen als auch von einer horizontalen Transformation ab.