Wie erhält man Symmetriealgebra?

Question

Wie erhält man Symmetriealgebra?

Physik
Symmetrie
Feldtheorie
Lorentz-Symmetrie
Noethers-Theorem
lagrangescher Formalismus

Ganesha Ram

Durch eine infinitesimale Koordinatentransformation $x^\mu$ --> $x^\mu + \epsilon^\mu$ Entsprechend einer Symmetrie einer gegebenen Theorie kann man die Killing-Gleichung und damit den Killing-Vektor erhalten $\epsilon = \epsilon^\mu\partial_\mu$ . Zum Beispiel sind für konforme Symmetriegruppen die Killing-Vektoren

\begin{aligned} M_{μ v} \equiv ich (X_{μ} \partial_{v} - X_{v} \partial_{μ}), \\ P_{μ} \equiv - ich \partial_{μ}, \\ D \equiv - ich X_{μ} \partial^{μ}, \\ k_{μ} \equiv ich (X^{2} \partial_{μ} - 2 X_{μ} X_{v} \partial^{v}) . \end{aligned}

$\begin{align} & m_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu) \,, \\ &p_\mu \equiv-i\partial_\mu \,, \\ &d \equiv-ix_\mu\partial^\mu \,, \\ &k_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu) \,. \end{align}$

Nun führt jede Symmetrietransformation zu einer erhaltenen Ladung und sie erfüllen eine Algebra. Für die konforme Gruppe gilt die Algebra der Erhaltungsladungen

\begin{aligned} [D, K_{μ}] = - ich K_{μ}, \\ [D, P_{μ}] = ich P_{μ}, \\ [K_{μ}, P_{v}] = 2 ich η_{μ v} D - 2 ich M_{μ v}, \\ [K_{μ}, M_{v ρ}] = ich (η_{μ v} K_{ρ} - η_{μ ρ} K_{v}), \\ [P_{ρ}, M_{μ v}] = ich (η_{ρ μ} P_{v} - η_{ρ v} P_{μ}), \\ [M_{μ v}, M_{ρ σ}] = ich (η_{v ρ} M_{μ σ} + η_{μ σ} M_{v ρ} - η_{μ ρ} M_{v σ} - η_{v σ} M_{μ ρ}), \end{aligned}

$\begin{align} &[D,K_\mu]=-iK_\mu \,, \\ &[D,P_\mu]=iP_\mu \,, \\ &[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu} \,, \\ &[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu ) \,, \\ &[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu) \,, \\ &[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})\,, \end{align}$

Um die obige Algebra zu erhalten, kann man einfach die Killing-Vektoren als Ladungen betrachten und die Kommutatorbeziehungen finden. Aber ich weiß, dass diese Methode nicht immer funktioniert, da zum Beispiel in 2D-CFT die Algebra der Killing-Vektoren die Witt-Algebra ist, während die Ladungen die Virasoro-Algebra erfüllen und sich letztere von der ersteren durch eine zentrale Erweiterung unterscheidet.

Meine Frage ist also, wann schlägt die Methode zum Finden der Ladungsalgebra fehl, indem nur der Kommutator des Killing-Vektors genommen wird?

Antworten (1)

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Valter Moretti · Answer 1

Nun, der Punkt ist, dass die Killing-Symmetrien nur die Geometrie betreffen. Stattdessen beziehen sich die Ladungen auf das von Ihnen betrachtete besondere (klassische oder quantenmechanische) physikalische System, das viel mehr Informationen enthält, auch und insbesondere nicht geometrischer Natur. Bereits in der klassischen Hamiltonschen Formulierung ist Raum für Zentralladungen, wenn man die Lie-Algebra der Killing-Symmetrien mit der Lie-Klammer darstellt $[\cdot, \cdot]_L$ in Bezug auf eine Lie-Algebra von Hamilton-Ladungen mit Lie-Klammer, die durch die Poisson-Klammer gegeben ist $\{\cdot, \cdot\}$ .

Auf der einen Seite haben Sie physische Ladungen $Q$ erhalten durch eine spezifische (Hamiltonsche) Theorie, andererseits haben Sie feste geometrische Killing-Felder $X$ , unabhängig vom physikalischen System, weil gemeinsam mit allen physikalischen Systemen.

Was die Theorie sagt, ist das

(a) es existiert eine lineare Abbildung $Q \to X_Q$ , befriedigend

\begin{matrix} (1) & [X_{Q}, X_{Q^{'}}]_{L} = X_{{Q, Q^{'}}} . \end{matrix}

$[X_Q,X_{Q'}]_L= X_{\{Q,Q'\}}\:.\tag{1}$ Jedoch,

(b) die Abbildung ist nicht injektiv, da

\begin{matrix} (2) & X_{Q} = X_{Q + C} \end{matrix}

$X_Q = X_{Q+c}\tag{2}$ für jede Konstante

c

$c$ .

Wenn $X_{Q_k}$ , $k=1,\ldots, n$ ist eine Grundlage der Lie-Algebra der Killing-Symmetrien,

[X_{Q_{ich}}, X_{Q_{J}}]_{L} = C_{ich J}^{k} X_{Q_{k}} = X_{C_{ich J}^{k} Q_{k}}

$[X_{Q_i},X_{Q_j}]_L = C_{ij}^k X_{Q_k}= X_{C_{ij}^kQ_k}$ wo ich die Konvention der Summierung über wiederholte Indizes verwendet habe. Vergleich mit (1)

X_{C_{ich J}^{k} Q_{k} - {Q_{ich}, Q_{J}}} = 0

$X_{C_{ij}^kQ_k - \{Q_i,Q_j\}}=0$ (2) impliziert jedoch, dass es antisymmetrische Konstanten geben kann

c_{i j}

$c_{ij}$ , die berühmten zentralen Gebühren so dass

C_{ich J}^{k} Q_{k} - {Q_{ich}, Q_{J}} = - C_{ich J}

$C_{ij}^kQ_k - \{Q_i,Q_j\} = -c_{ij}$ und somit

{Q_{ich}, Q_{J}} = C_{ich J}^{k} Q_{k} + C_{ich J}

$\{Q_i,Q_j\} = C_{ij}^kQ_k + c_{ij}$ Wenn die Lie-Algebra eine kohomologische Bedingung erfüllt, ist es möglich, die Ladungen durch hinzugefügte Konstanten neu zu definieren,

Q_{k} \to Q_{k}^{'} = Q_{k} + F_{k}

$Q_{k} \to Q_k' = Q_k + f_k$ damit einerseits die zugehörigen Killing-Felder fest bleiben, andererseits

{Q_{ich}^{'}, Q_{J}^{'}} = C_{ich J}^{k} Q_{k}^{'}

$\{Q'_i,Q'_j\} = C_{ij}^kQ'_k$ (Das reicht

C_{i j}^{k} f_{k} = c_{i j}

$C_{ij}^k f_k= c_{ij}$ ).

Das Bild auf Quantenebene ist im Wesentlichen identisch, es werden lediglich die Ladungen durch mindestens (anti-)symmetrische Operatoren ersetzt, die auf einer gemeinsamen dichten Domäne definiert sind, und die Poisson-Klammer wird für den Kommutator der Operatoren ersetzt (hier gibt es viele Feinheiten, wenn versucht wird, die Darstellung anzuheben der Algebra zu einer einheitlichen Darstellung der Symmetriegruppe, aber ich bestehe jetzt nicht darauf). Auch hier können zentrale Ladungen auftreten, weil die Quantisierung die Hamiltonschen Ladungen betrifft und nicht die Lie-Gruppe der Killing-Isometrien.

Normalerweise tragen zentrale Ladungen einige physikalische Informationen, die die Geometrie nicht umfassen kann, weil sie nicht zwischen den verschiedenen physikalischen Systemen unterscheiden kann, die auf demselben Hintergrund leben. Das typische Beispiel ist die Masse des Systems bezüglich der Galilei-Symmetrie .

Eine der Ein-Parameter-Untergruppen der Galileo-Lie-Gruppe ist der Boost, der die Geschwindigkeiten jedes Teils des Systems ändert, indem er eine gemeinsame Geschwindigkeit hinzufügt. In der Hamilton-/Quantenformulierung sind die Variablen jedoch Positionen und Impuls, und der Impuls hängt mit der Geschwindigkeit über die Masse zusammen $m$ . Dies ist für verschiedene Systeme unterschiedlich und wird nicht durch die Geometrie ausgewählt. Der Ort, an dem diese nicht-geometrischen Informationen stattfinden, ist nur eine zentrale Ladung.

{K_{ich}, P_{J}} = M δ_{ich J},

$\{K_i,P_j\}= m\delta_{ij}\:,$

$K_i$ ist der Generator der Boost-Transformation entlang der $i$ -te Achse, mit der geometrischen Entsprechung zu vergleichen

[X_{K_{ich}}, X_{P_{J}}]_{L} = 0 .

$[X_{K_i},X_{P_j}]_L= 0\:.$

Die Quantenversion wird von derselben zentralen Ladung beeinflusst, deren Natur jedoch klar ist.

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Ganesha Ram

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Valter Moretti

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