Was macht eine Symmetrie für den Satz von Noether aus?

Eine Symmetrie einer klassischen Theorie, die durch eine Handlung beschrieben wird$S[\varphi]$Wo$\varphi$ist die Menge aller Felder in der Theorie eine Feldneudefinition$\varphi(x) \to \varphi'(x)$so dass$S[\varphi] = S[\varphi']$. Beachten Sie, dass die Feldneudefinition so ist, dass sie sich nicht auf die Koordinaten auswirkt$x$.$^\dagger$Beachten Sie auch, dass diese Definition einer Symmetrie off-shell ist.

Die Aussage des Satzes von Noether ist, dass es für jede (mit der Identität verbundene) kontinuierliche Off-Shell-Symmetrie einer Aktion einen Strom gibt$j_\mu(x)$das wird auf der Schale konserviert . Obwohl die Symmetrie auf einer Off-Shell-Ebene vorhanden ist, wird der Strom somit nur auf der Shell konserviert.

Eine Symmetrie einer Quantentheorie ist eine Feldneudefinition$\varphi(x) \to \varphi'(x)$so dass das Pfadintegralmaß invariant ist

$^\dagger$_{Dies ist entscheidend und oft etwas, mit dem viele Menschen verwechseln. In Feldtheorien wirken alle Symmetrietransformationen nur auf die Felder, nicht auf die Koordinaten. Man spricht oft gerne von Raum-Zeit-Symmetrien, die in irgendeiner Weise als auf Koordinaten wirkend beschrieben werden$x \to x'$. Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, dass dies einfach ein Werkzeug ist , um Informationen darüber zu verpacken, wie Felder transformiert werden. Vielleicht möchten Sie zum Beispiel über Übersetzungen sprechen. Dies wird durch die Feldredefinition beschrieben$\phi(x) \to \phi'(x)$Wo$\phi'(x+a) = \phi(x)$. Beachten Sie, dass die Gleichung$\phi'(x+a) = \phi(x)$ist als ein Weg zu verstehen, was ist$\phi'(x)$bezüglich$\phi(x)$und nicht als Übersetzungen, die in irgendeiner Weise auf die Koordinaten einwirken.}

1. Mit einer Symmetrie ist eine Off-Shell-Symmetrie gemeint . Eine On-Shell-Symmetrie ist ein leerer Begriff, wie OP bereits angemerkt hat. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

2. Der Satz von Noether kann auf Quasisymmetrien verallgemeinert werden, vgl. meine Phys.SE antwortet hier & hier .

Die Quelle Ihrer Verwirrung liegt in der Definition von Aktionssymmetrie. Wenn der Satz von Noether sagt, dass eine Symmetrieoperation diejenige ist, die die Aktion invariant bleibt, bedeutet dies nicht$\delta S = 0$im Sinne des Auffindens klassischer Trajektorien. Denken Sie daran, dass der Beweis des Satzes von Noether die klassische Euler-Lagrange-Gleichung verwendet. Das heißt, die Berechnung erfolgt auf Shell. Hier wird die Wirkungsinvarianz für die jeweilige Symmetrieoperation untersucht. Dazu gehört die externe Symmetrie wie$x -> x' = \lambda x$oder interne Symmetrie wie z$\phi -> \phi'$. Sie sehen also die Variation der Aktion in Bezug auf diese Variationen. Wenn die Wirkung invariant ist, spricht man von einer Symmetrie. Andererseits$\delta S = 0$bedeutet Variation der Aktion bzgl. ihrer Parameter und deren Nullsetzung.

Symmetrieeigenschaften des Aktionsfunktionals sind unabhängig von den Bewegungsgleichungen (sie sind off-shell). Es bedeutet nur, dass unter Transformationen wie z$t\rightarrow t'=t+\epsilon f(q,t)$,$q\rightarrow q'=q+\epsilon g(q,t)$die Wirkung ist invariant, d. h.$S'=S$, was normalerweise mit bezeichnet wird$\delta S\equiv S'-S=0$

Sowohl (stetige) Symmetrien der Wirkung als auch der Lagrangian ergeben Erhaltungsgrößen. Transformationen, die die Lagrange-Invariante nicht verlassen, können jedoch auch Erhaltungsgrößen ergeben. Wenn nämlich der Lagrangian quasi-invariant ist,$L'=L+\epsilon\frac{d\sigma(q,t)}{dt}$, dann bleibt die Wirkung (sowie die Bewegungsgleichungen) invariant und es gibt eine Erhaltungsgröße, die vom Oberflächenterm abhängt$\sigma$.

Andererseits bedient man sich zum Beweis des Satzes von Noether der Bewegungsgleichungen. Daher impliziert eine kontinuierliche Symmetrie der Wirkung auf eine konservierte Größe auf der Schale.