Welche Transformationen sind *keine* Symmetrien einer Lagrange-Funktion?

Soweit ich verstehe, funktioniert der Satz von Noether für Felder, wie zum Beispiel in David Tongs QFT-Vorlesungsunterlagen (Seite 14) erklärt, indem er sagt, dass eine Transformation ϕ ( X ) ↦ ϕ ( X ) + δ ϕ ( X ) wird als Symmetrie bezeichnet, wenn sie eine Änderung der Lagrange-Dichte erzeugt, die als vier Divergenz ausgedrückt werden kann,

(1.35) δ L = ∂ μ F μ
für ein 4-Vektorfeld F μ .

Wir zeigen dann, dass die Änderung dieser Lagrange-Dichte auch für eine beliebige Transformation als ausgedrückt werden kann

(1.37) δ L = ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) δ ϕ ) .

Das ist eine 4-Divergenz. Wie können wir also sagen, dass eine Transformation keine Symmetrie im obigen Sinne ist ?

Antworten (1)

Der Punkt ist, dass Gl. (1.35) sollte off-shell gelten , um eine Symmetrie zu haben, während Gl. (1.37) darf nur auf der Schale gelten.

[Der Begriff On-Shell (in diesem Zusammenhang) bedeutet, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt sind. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.]

Mit anderen Worten: Auf der Schale ändert sich die Aktion nur mit höchstens einem Grenzterm für jede infinitesimale Variation, unabhängig davon, ob es sich um eine Symmetrie handelt oder nicht.

Anders ausgedrückt: Unter einer Symmetrie versteht man eine Off-Shell-Symmetrie. Eine On-Shell-Symmetrie ist ein leerer Begriff.

Ach ja, natürlich! Und Gl. (1.35) sollte off-shell sein, so dass die Wirkung immer noch ein Minimum ist (da die Wirkung der nahegelegenen Trajektorien der neuen Trajektorie jeweils um den gleichen Betrag geändert wird)
Auf einer anderen Anmerkung, selbst wenn δ L keine Off-Shell-4-Divergenzform hat, kann es zum Beispiel in der On-Shell-Trajektorie immer noch gleich Null sein und somit eine konservierte 4-Stromdichte ergeben, obwohl unsere Transformation keine Symmetrie war?
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