Eindeutigkeit der Definition des Noetherstroms

Auf Seite 28 von Pierre Ramond Feldtheorie - Eine moderne Einführung steht Folgendes geschrieben:

"Wir bemerken, dass ein konservierter Strom keine eindeutige Definition hat, da wir ihm immer die Viererdivergenz eines antisymmetrischen Tensors hinzufügen können [...] Auch seit J [der Noetherstrom] bleibt nur nach Anwendung der Bewegungsgleichungen erhalten, wir haben die Freiheit, ihm jede Größe hinzuzufügen, die aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwindet.

Ich verstehe nicht, was er meint, wenn er sagt, jede Größe, die aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwindet .

Ein gutes Beispiel dafür kann man sehen, wenn man die Hilbert- und Noether-Formen des Spannungstensors vergleicht.

Antworten (2)

Im ersten Satz von Noether , der Kontinuitätsgleichung 1

(*) D μ J μ   ≈   0
ist eine On-Shell- Gleichung, dh sie gilt, wenn die EOMs [= Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen ] erfüllt sind. Es hält nicht unbedingt aus der Schale.

Daher können wir den Noetherstrom modifizieren J μ mit

  1. Begriffe, die auf der Shell verschwinden, und/oder

  2. Bedingungen des Formulars D v A v μ , Wo A v μ = − A μ v ist ein antisymmetrischer Tensor,

ohne die Kontinuität zu beeinträchtigen Gl. (*).

--

1 Der ≈ Symbol bedeutet Gleichheit Modulo EOMs.

@Qmechanic Mir ist aufgefallen, dass Sie eine vollständige Ableitung auf die gesetzt haben J μ Und ∂ μ A μ v Begriff so ist es D μ J μ Und D v A v μ Ist das beabsichtigt?
@josephh: Ja, D μ ist eher eine Summe als eine explizite Raumzeitableitung, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Sehr gut. Schlampige Notation ist dann überall! Danke.

Ich kann Ihnen ein Beispiel geben:

S = ∫ D T ( X ˙ + X ˙ − − X + X − )

hat einen erhaltenen Strom, der zugeordnet ist X ± → e ± ρ X ± gegeben von

J = X + X ˙ − − X − X ˙ +

Dies bedeutet, dass der obige Strom erhalten bleibt, wenn die Bewegungsgleichungen erfüllt sind. Fügen wir nun diesem Strom einen Term der Form hinzu X ¨ + + X + die Aussage bleibt trotzdem wahr, dh der Strom bleibt erhalten. Dies liegt daran, dass dieser Term, den ich hinzugefügt habe, genau die Bewegungsgleichungen sind.

Wenn ich mich nicht irre, ist kein anderer Strom nur eine Funktion von Raumzeitkoordinaten. In dem von Ihnen angegebenen Beispiel bedeutet dies, dass der Strom nur eine Funktion der Zeit ist, sodass der Beitrag der Bewegungsgleichung Null ist.
Sie können weitere Dimensionen hinzufügen, wenn Sie möchten. Der Strom in d = 0 + 1 ist nur durch eine Funktion der Zeit gegeben, da nur Zeit zur Ausbreitung vorhanden ist. Ich wähle diesen Fall, weil er einfacher ist und die Frage erfasst. Die Idee ist sehr einfach: Wenn Sie Dinge hinzufügen, die verschwinden, wenn die Bewegungsgleichungen erfüllt sind, fügen Sie dem Erhaltungssatz tatsächlich Nullen hinzu, da die Erhaltung nur wahr ist, wenn die Bewegungsgleichungen erfüllt sind.
Die gleiche Symmetrie findet sich übrigens, wenn auch aus subtil anderen Gründen, im FP-Ghost-Sektor.
@JG Ich denke, diese Symmetrie erscheint überall. Es ist eine U(1)-Symmetrie.
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