Invarianz der Aktion vs. Lagrange im Satz von Noether?

Question

Invarianz der Aktion vs. Lagrange im Satz von Noether?

Aktion
Physik
Symmetrie
Noethers-Theorem
lagrangescher Formalismus
Klassische-Feld-Theorie

SS_1234

Ich habe vor kurzem begonnen, klassische Feldtheorie zu studieren. Der Satz von Noether besagt, dass jede differenzierbare Symmetrie der Wirkung eines physikalischen Systems ein entsprechendes Erhaltungsgesetz hat. Aber ich finde, dass beim Auflösen nach konservierten Strömen oft angenommen wird, dass sie auf die Invarianz von Lagrange zurückzuführen sind, dh; $\delta L = 0$ . Sind beide Aussagen immer gleich?

Blazej

Sie sind es nicht, aber

δ L = 0

$\delta L=0$ ist ein sehr häufiger Sonderfall.

Antworten (2)

Invarianz der Aktion vs. Lagrange im Satz von Noether?

Sie sind es nicht, aber $\delta L=0$ ist ein sehr häufiger Sonderfall.

Giuseppe Rossi · Answer 1

Nein, sie sind nicht gleich. Um zu sehen, warum, selbst in der klassischen Mechanik, nehmen wir an, wir haben eine Symmetrietransformation $q \rightarrow q + \epsilon K$ das lässt die Lagrange-Invariante. Das bedeutet, dass wir haben müssen

lim_{ϵ \to 0} \frac{1}{ϵ} (L (Q + ϵ K, \dot{Q} + ϵ \dot{K}, T) - L (Q, \dot{Q}, T)) = \frac{\partial L}{\partial Q} K + \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} \dot{K} = 0

$\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon}\left(L(q+\epsilon K, \dot{q}+\epsilon\dot{K},t) - L(q,\dot{q},t)\right) = \frac{\partial L}{\partial q}K +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K} = 0 \end{equation}$

T h e n

$Then$ Sie verwenden die Tatsache, dass die Bewegungsgleichungen erfüllt sind, um zu schreiben

\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L }{\partial \dot{q}}$ und dies impliziert

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} K + \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} \dot{K} = \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} K) = 0

$\begin{equation} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K\right)=0 \end{equation}$ dh die Menge

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} K

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K$ wird konserviert.

Eine Symmetrie der Aktion ist eine Transformation, die die Aktion invariant lässt, unabhängig davon, ob die Bewegungsgleichungen erfüllt sind oder nicht. In diesem Fall ergibt das gleiche Verfahren die Bedingung

\frac{\partial L}{\partial Q} K + \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} \dot{K} = \frac{D M}{D T}

$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial q}K + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K} = \frac{dM}{dt} \end{equation}$ Wo

M

$M$ ist eine Funktion von

q, \dot{q}, t

$q, \dot{q}, t$ . Wenn ein solches M existiert, sagen wir, dass die Wirkung unter der Symmetrietransformation invariant ist.

Es ist sehr leicht zu sehen, dass LHS wird, wenn wir die Bewegungsgleichungen aufstellen $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K\right)$ und wir können eine Erhaltungsgröße ableiten:

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} K - M) = 0.

$\begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K - M\right)=0. \end{equation}$

Das einfachste mögliche Beispiel einer Symmetrietransformation, die eine Symmetrie der Aktion, aber nicht der Lagrange-Funktion ist, ist die Zeittranslation in Systemen, in denen die Lagrange-Funktion keine explizite Zeitabhängigkeit aufweist. Wenn wir die Zeit beliebig klein verschieben $\epsilon$ , die verallgemeinerten Koordinaten $q$ ändern sich gem $q(t) \rightarrow q(t) + \epsilon \dot{q}(t)$ , Deshalb $K=\dot{q}$ . Aber

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} \dot{Q}) = \frac{\partial L}{\partial Q} \dot{Q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} \ddot{Q} = \frac{D L}{D T} \neq 0

$\begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}\right)=\frac{\partial L }{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\ddot{q}=\frac{dL}{dt}\neq 0 \end{equation}$ In diesem Fall

M = L

$M =L$ und die Erhaltungsgröße ist

H = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} \dot{Q} - L .

$\begin{equation} H = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q} - L. \end{equation}$

Ich komme vielleicht etwas spät zur Party, aber was ist die Funktion K, die du hier beschreibst? Ist es eine Funktion von q(t) und t?
Außerdem denke ich, dass M eine Funktion von sein sollte $q$ Und $t$ , und nicht $q$ , $\dot{q}$ Und $t$ Denn sobald Sie auch Geschwindigkeiten einbeziehen, müssten Sie eine zusätzliche Einschränkung hinzufügen, dass die Geschwindigkeit entlang des Pfads an den Endpunkten verschwindet.
Wie im Fall der Zeittranslationsinvarianz gezeigt, $K$ kann eine Funktion von sein $\dot{q}$ Auch.
Im gleichen Beispiel $M$ ist die Lagrange-Funktion, die eine Funktion von ist $\dot{q}$ .Der Lagrange-Operator ist eine Funktion von $q$ Und $\dot{q}$ als unabhängige Variablen behandelt. Die Tatsache, dass Sie im Lagrange-Formalismus die Gleichungen von Bewegungen ableiten, indem Sie die Aktion variieren und die Koordinaten an den Endpunkten festhalten (ohne dass Geschwindigkeiten verschwinden müssen), ist eine andere Geschichte. Dies bedeutet, dass für die Trajektorien, die die Bewegungsgleichungen als Funktion der Zeit erfüllen, $q(t)$ Und $\dot{q}(t)$ sind nicht unabhängig. Siehe tinyurl.com/yxfpqfg7 . Tatsächlich habe ich nie angenommen, dass die Geschwindigkeiten an den Endpunkten verschwinden.

QMechaniker · Answer 2

Zunächst sollte ein Begriff der strengen Symmetrie zu einem Begriff der Quasisymmetrie gelockert werden, um so allgemein wie möglich zu sein. Beide Versionen von Noethers Theorem bleiben wahr, aber die Aktionsversion ist allgemeiner.

Ich verstehe nicht, warum wir einen neuen Namen dafür wollen sollten?
Verschiedene Autoren verwenden unterschiedliche Terminologien. Es ist oft nützlich, das Wort Quasisymmetrie zu verwenden, um den allgemeineren Begriff hervorzuheben.

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Transformation hat δL=0δL=0\delta \mathcal{L}=0 aber δS≠0δS≠0\delta S \neq 0 und δS≠ϵ∫∂Ωd3xfδS≠ϵ∫∂Ωd3xf\delta S \neq \epsilon \int_{ \partial\Omega} d^3 xf

Was bedeutet es, dass eine Wirkung invariant ist unter x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?