Was bedeutet es, dass eine Wirkung invariant ist unter x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Question

Was bedeutet es, dass eine Wirkung invariant ist unter x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Knzhou

Ich bin plötzlich sehr verwirrt über eine grundlegende Frage. Angenommen, jemand sagt Ihnen, dass die Aktion unter der Transformation unveränderlich ist

x \to x^{'}, ϕ (x) \to ϕ^{'} (x^{'}) .

$x \to x', \quad \phi(x) \to \phi'(x').$ Mir ist klar, dass diese Notation mehrdeutig ist, aber sie scheint üblich zu sein. Zum Beispiel könnte man eine Lorentz-Transformation auf diese schlampige Weise als definieren

x \to Λ x, ϕ \to ϕ (Λ^{- 1} x)

$x \to \Lambda x, \quad \phi \to \phi(\Lambda^{-1}x)$ oder eine Dilatationstransformation als

x \to λ x, ϕ \to λ^{a} ϕ (x / λ) .

$x \to \lambda x, \quad \phi \to \lambda^\alpha \phi(x/\lambda).$

Nehmen wir nun an, die Aktion ist

S_{000}^{0} = \int_{a}^{b} d x h (ϕ (x)) .

$S_{000}^0 = \int_a^b dx \, h(\phi(x)).$ Dann fallen mir fünfzehn Dinge ein, die "die Aktion ist invariant" naiv bedeuten könnte. Definieren

S_{111}^{1} = \int_{f (a)}^{f (b)} d x^{'} h (ϕ^{'} (x^{'})), S_{101}^{0} = \int_{a}^{b} d x^{'} h (ϕ (x^{'})), S_{010}^{1} = \int_{f (a)}^{f (b)} d x h (ϕ^{'} (x))

$S^1_{111} = \int_{f(a)}^{f(b)} dx' \, h(\phi'(x')), \quad S^0_{101} = \int_a^b dx'\, h(\phi(x')), \quad S^1_{010} = \int_{f(a)}^{f(b)} dx \, h(\phi'(x))$ zusammen mit zwölf weiteren Größen in einer hoffentlich selbsterklärenden Notation. Dann ist eine dieser Größen gleich

S_{000}^{0}

$S_{000}^0$ , aber welches ist typischerweise gemeint?

Quanten-Spaghettifizierung

Ich leide unter einer ähnlichen Verwirrung. Hier sind einige Quellen, die mir bisher geholfen haben: scl.rs/papers/QFT2notes.pdf (pdf-pg74, actual-pg67) und die Suchbegriffe: "Form Variation" und "Total Variation".

Antworten (2)

Was bedeutet es, dass eine Wirkung invariant ist unter x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Ich leide unter einer ähnlichen Verwirrung. Hier sind einige Quellen, die mir bisher geholfen haben: scl.rs/papers/QFT2notes.pdf (pdf-pg74, actual-pg67) und die Suchbegriffe: "Form Variation" und "Total Variation".

QMechaniker · Answer 1

Der Satz von Noether funktioniert sogar für nicht-geometrische Theorien, daher werden wir, um so allgemein und einfach wie möglich zu sein, keine Begriffe und Konzepte aus der Differentialgeometrie verwenden. Für den Zweck des Satzes von Noether genügt es, infinitesimale Variationen zu diskutieren:
$\begin{matrix} (1) & δ x^{μ} := x^{' μ} - x^{μ} = ε X^{μ} (x), \end{matrix}$ $\delta x^{\mu} ~:=~ x^{\prime\mu} - x^{\mu} ~=~ \varepsilon~ X^{\mu}(x),\tag{1}$ $\begin{matrix} (2) & δ ϕ^{a} (x) := ϕ^{' a} (x^{'}) - ϕ^{a} (x) = ε Y^{a} (ϕ (x), \partial ϕ (x), x), \end{matrix}$ $\delta\phi^{\alpha}(x) ~:=~\phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})-\phi^{\alpha}(x) ~=~ \varepsilon~ Y^{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x), x),\tag{2}$ wo $\varepsilon$ ist ein Infinitesimal ( $x$ -unabhängiger) Parameter und $X^{\mu}$ und $Y^{\alpha}$ sind Generatoren.
Wenn $V~\subseteq~\mathbb{R}^4$ ist eine Raumzeitregion, let
$\begin{matrix} (3) & v^{'} := {x^{'} \in R^{4} ∣ x \in v} \subseteq R^{4} \end{matrix}$ $V^{\prime}~:=~\{ x^{\prime}\in \mathbb{R}^4 \mid x \in V \} ~\subseteq~\mathbb{R}^4 \tag{3}$ bezeichnen die variierte Raumzeitregion.
Die infinitesimale Variation der Aktion ist per Definition
$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} δ S_{v} := & S_{v^{'}} [ϕ^{'}] - S_{v} [ϕ] \\ := & \int_{v^{'}} d^{4} x^{'} L (ϕ^{'} (x^{'}), \partial^{'} ϕ^{'} (x^{'}), x^{'}) \\ - \int_{v} d^{4} x L (ϕ (x), \partial ϕ (x), x) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\delta S_V~:=~& S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}] -S_V[\phi]\cr ~:=~& \int_{V^{\prime}}\! d^4x^{\prime}~{\cal L}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),x^{\prime}) \cr &-\int_V\! d^4x~{\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),x).\end{align}\tag{4}$ Formel (4) ist $S^1_{111}-S^0_{000}$ in der OP-Notation. Siehe z. B. Refs. 1 & 2.
Die infinitesimale Variation (1) & (2) heißen Quasi-Symmetrie der Wirkung, wenn die infinitesimale Variation (4) ein Randintegral ist, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier . Im bejahenden Fall führt der Satz von Noether zu einem Erhaltungssatz auf der Schale.

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik, 2. Auflage, Abschnitt 12.7.
H. Goldstein, Klassische Mechanik, 3. Auflage, Abschnitte 13.7.

Danke für die Antwort! Besteht die Möglichkeit, dass Sie mich auf eine Ressource verweisen könnten, die Noethers Theorem abdeckt, wenn alle drei Dinge ( $V$ , $x$ , $\phi$ ) Rückgeld?

Ultima · Answer 2

Ich gehe davon aus, dass $S[\phi(x)]$ ist eine Aktion funktional für eine Feldtheorie von $\phi$ . Es ist wichtig zu beachten, dass Symmetrien nur auf Felder wirken, nicht auf Koordinaten. Die Koordinaten sollten Sie sich als Dummy-Variablen vorstellen, wobei eine Koordinatentransformation einer Umbenennung gleichkommt. In Anbetracht dieser Tatsache, wenn unter einer Feldtransformation $\delta$

δ : ϕ (x) \mapsto ϕ^{'} (x)

$\delta: \phi(x) \mapsto \phi'(x)$ die Aktion befriedigt

S [ϕ^{'} (x)] = S [ϕ (x)],

$S[\phi'(x)] = S[\phi(x)],$ das sagen wir

δ

$\delta$ ist eine Symmetrie der Theorie.

Nun, nachdem dies gesagt wurde, ist es manchmal nützlich, sich die Transformation als eine Koordinatentransformation vorzustellen, die dann eine Transformation auf den Feldern induziert. In diesem Bild die Koordinatentransformation $\delta'$ , mit

δ^{'} : x \mapsto x^{'}

$\delta': x \mapsto x'$ führt natürlich eine Transformation auf dem Feld durch

ϕ^{'} (x^{'}) = ϕ (x) .

$\phi'(x') = \phi(x).$ Aufgrund dieser Aussage gilt das natürlich immer

S [ϕ^{'} (x^{'})] = S [ϕ (x)] .

$S[\phi'(x')] = S[\phi(x)].$ Beachten Sie den Unterschied zwischen der vorherigen Aussage über die Aktion. Das erste folgt aus einer Symmetrie der Theorie, während das zweite immer wahr ist. Intuitiv bedeutet dies, dass man eine Feldtransformation durch eine Umbenennung (Koordinatentransformation) rückgängig machen kann.

Nur um sicherzugehen, plädieren Sie dafür $S^0_{000} = S^0_{010}$ ist die beabsichtigte Bedeutung, während $S^0_{000} = S^1_{111}$ ist immer trivial wahr?

Was bedeutet es, dass eine Wirkung invariant ist unter x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?

Knzhou

Quanten-Spaghettifizierung

Antworten (2)

QMechaniker

Knzhou

QMechaniker

Ultima

Knzhou

Noether-Gebühr für Lagrange mit Ableitungen höherer Ordnung

Wie man den Satz von Noether anwendet

On-Shell- und Off-Shell-Transformationen im Noether-Theorem

Warum unterscheidet sich die Symmetrievariation δsqδsq\delta_s q von der gewöhnlichen Variation δqδq\delta q?

Einige Verwirrung bezüglich der Besonderheiten der geometrischen Formulierung der Lagrange-Mechanik und des Satzes von Noether

Invarianz der Aktion vs. Lagrange im Satz von Noether?

Transformation hat δL=0δL=0\delta \mathcal{L}=0 aber δS≠0δS≠0\delta S \neq 0 und δS≠ϵ∫∂Ωd3xfδS≠ϵ∫∂Ωd3xf\delta S \neq \epsilon \int_{ \partial\Omega} d^3 xf

Klärung einiger einfacher Details der Arten von Symmetrien, die in Noethers Theorem enthalten sind

Beweis des Satzes von Noether: Wie geht man mit Transformationen in der Zeit um?

Was macht eine Symmetrie für den Satz von Noether aus?