Beweis des Satzes von Noether: Wie geht man mit Transformationen in der Zeit um?

Question

Beweis des Satzes von Noether: Wie geht man mit Transformationen in der Zeit um?

Dirakologie

Ich habe den Beweis des Satzes von Noether in Lemos - Analytical Mechanics , Seite 73, verfolgt.

Er betrachtet eine vollständige infinitesimale Transformation:

T^{'} = T + ϵ X (Q (T), T),

$t'=t+\epsilon X(q(t),t),$

\begin{matrix} (2.160) & Q^{'} (T^{'}) = Q (T) + ϵ Ψ (Q (T), T), \end{matrix}

$q'(t')=q(t)+\epsilon\Psi(q(t),t),\tag{2.160}$ deren Änderung in der Aktion ist

\begin{matrix} (2.161) & Δ S = \int_{T_{1}^{'}}^{T_{2}^{'}} L (Q^{'} (T^{'}), \frac{D Q^{'} (T^{'})}{D T^{'}}, T^{'}) D T^{'} - \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q (T), \frac{D Q (T)}{D T}, T) D T . \end{matrix}

$\Delta S=\int_{t_1'}^{t_2'}L\left(q'(t'),\frac{dq'(t')}{dt'},t'\right)dt'-\int_{t_1}^{t_2}L\left(q(t),\frac{dq(t)}{dt},t\right)dt.\tag{2.161}$ Beachten Sie, dass die Integrationsgrenzen im ersten Term des RHS geändert werden.

Dann nach dem Einstecken der Transformation $\Delta S$ er bekommt

\begin{matrix} (2.166) & Δ S = \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q + ϵ Ψ, \dot{Q} + ϵ ξ, T + ϵ X) (1 + ϵ \dot{X}) D T - \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q, \dot{Q}, T) D T, \end{matrix}

$\Delta S=\int_{t_1}^{t_2}L(q+\epsilon\Psi,\dot q+\epsilon \xi,t+\epsilon X)(1+\epsilon\dot X)dt-\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t)dt,\tag{2.166}$ Wo

\begin{matrix} (2.165) & ξ = \dot{Ψ} - \dot{Q} \dot{X} . \end{matrix}

$\xi=\dot\Psi-\dot q\dot X.\tag{2.165}$

Warum ist das erste Integral oben vorbei $[t_1,t_2]$ anstatt $[t_1',t_2']?$
Gibt es nicht einen Begriff proportional zu $\epsilon\left[L(q(t_2),\dot q(t_2),t_2)-L(q(t_1),\dot q(t_1),t_1)\right]$ vernachlässigt in der $\Delta S$ über?

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Beweis des Satzes von Noether: Wie geht man mit Transformationen in der Zeit um?

QMechaniker · Answer 1

Es ist üblich, den Integrationsbereich bei der sogenannten horizontalen Transformation (2.160a) fließen zu lassen. Ref. 1 beginnt sehr ambitioniert mit der Erklärung in Gl. (2.160a) den Horizontalgenerator $X(q(t),t)$ ist eine Funktion von $q(t)$ , was ungewöhnlich ist. Später Ref. 1 scheint das implizit anzunehmen $X(t)$ ist nur eine Funktion der Zeit $t$ , wie normalerweise angenommen wird.
Satz 2.7.1 auf p. 74 in Art.-Nr. 1 diskutiert nur den Fall, wenn die Aktion $S$ hat eine strenge Symmetrie. Prinzipiell funktioniert der Satz von Noether auch, wenn die Wirkung eine Quasisymmetrie hat, dh wenn sie nur bis auf Randterme invariant ist, s. 75 in Art.-Nr. 1.

Verweise:

NA Lemos, Analytische Mechanik , 2018; Abschnitt 2.7.

1. Was macht diesen Brauch mathematisch wahr? 2. Die Aktion ist quasi-invariant, wenn die Differenz das Integral einer totalen Ableitung einer Funktion von ist $q$ Und $t$ nur. Aber im vorliegenden Fall ist die Differenz das Integral von $dL/dt$ , dh eine totale Ableitung einer Funktion von $q$ , $\dot q$ Und $t$ .

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