Invarianz der Lagrange-Funktion im Satz von Noether

An dieser Stelle möchte ich den Begriff der Quasisymmetrie erwähnen. Allgemein, wenn die Lagrangedichte (bzw. Lagrangedichte bzw. Wirkung) nur bis zu einer totalen Zeitableitung (bzw. Raum-Zeit-Divergenz bzw. Randterm) bei Ausführung einer bestimmten Off-Shell invariant ist$^1$Variation spricht man von einer Quasi-Symmetrie, siehe zB Lit. 1.

Noethers erster Satz gilt auch für Quasisymmetrien. Beispiele für nicht-triviale Erhaltungssätze im Zusammenhang mit Quasisymmetrien finden Sie in den Beispielen 1, 2 und 3 im Wikipedia-Artikel zum Satz von Noether .

Verweise:

1. JV Jose & EJ Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, 1998; p. 565.

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$^1$Hier bedeutet das Wort Off-Shell , dass die Euler-Lagrange (EL)-Gl. der Bewegung wird nicht angenommen, dass sie unter der spezifischen Variation gelten. Wenn wir die EL-Gl. der Bewegung zum Halten ist jede Variation der Lagrange-Funktion trivialerweise eine totale Ableitung.

Ich möchte nur sagen, dass der Standardsatz von Noether sehr wohl auf den Fall zutrifft$\delta L = \dot f$. Zum Beispiel hat die Zeitübersetzung diese Form. Wir können dies sehen, indem wir das Noether-Verfahren für eine winzige Zeitübersetzung durchführen.

$$q(t) \to q(t + \varepsilon) \approx q(t) + \varepsilon \dot q(t)\\ \dot q(t) \to \dot q(t) + \varepsilon \ddot q(t)$$ Dies sendet $$L \to L + \varepsilon \dot L$$ wie versprochen. Wenn wir das dann machen$\varepsilon$in eine winzige zeitabhängige Funktion$\varepsilon(t)$, wir haben nun

$$q(t) \to q(t) + \varepsilon(t) \dot q(t) \\ \dot q(t) \to \dot q(t) + \varepsilon(t) \ddot q(t) + \dot \varepsilon(t) \dot q(t).$$

Nachdem wir ein wenig mit der Kettenregel der Multivariablenrechnung herumgespielt haben, stellen wir fest, dass dies sendet

$$L \to L + \varepsilon \dot L + \dot \varepsilon \dot q \frac{\partial L}{\partial \dot q}$$

Wir nutzen dann die Tatsache, dass$\delta S = 0$auf Lösungen der Bewegungsgleichungen, und nach partieller Integration finden

$$\frac{d}{dt} ( p \dot q - L ) = 0$$

über Lösungen der Bewegungsgleichungen. Das ist nur die Energieerhaltung

TLDR-Symmetrien, die sich ändern$L$durch eine totale Ableitung einfach in den Satz von Noether eingebaut werden, ohne dass irgendetwas extra getan werden muss. Zeitübersetzungen sind ein Beispiel dafür.

Jedoch,$\delta L \propto L$ist etwas exotischer. Durchführen des Noether-Verfahrens an der Lagrange-Funktion eines freien Teilchens$(L = m \dot q^2 / 2)$was eine Skalensymmetrie hat$q \to (1+\varepsilon) q$, ich finde das "Erhaltungsgesetz" (wenn man es so nennen will) gerecht$m q\ddot q = 0$, was trivial ist$0$sowieso auf die Bewegungsgleichungen.