Verwirrung über Symmetrie und Erhaltung

Question

Verwirrung über Symmetrie und Erhaltung

Daniel W.

Ich glaube, ich verstehe das Konzept der Symmetrie in der Lagrange-Mechanik falsch, oder vielleicht verstehe ich den Inhalt von Noethers Theorem falsch. Lassen Sie mich näher darauf eingehen:

Vermuten $L(q,\dot q,t)$ die Lagrange-Funktion eines physikalischen Systems ist, dann können Sie mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichung die Bewegungsgleichung (in diesem Fall eine Gleichung) der Koordinate bestimmen $q$ . Es stellt sich heraus, dass $L^´:=L+\frac{d}{dt}f(q,t)$ führt zu genau denselben Bewegungsgleichungen (für jede Funktion $f(q,t)$ ), damit wir überlegen können $L$ Und $L^´$ gleichwertige Lagrange. Beachten Sie jedoch, dass dies nur funktioniert, wenn $f$ ist nicht abhängig $\dot q$ . Wenn $f$ kommt drauf an $\dot q$ die Lagrangianer könnten tatsächlich zu anderen Bewegungsgleichungen führen.
Hier ist nun das Konzept der Symmetrie, das ich für richtig hielt (obwohl ich nicht sicher bin, ob das wirklich richtig ist):

Wenn wir eine kleine infinitesimale Koordinatentransformation machen $q \rightarrow q' = q + \epsilon \chi$ dann muss die Variation der Lagrange-Funktion (unter dieser Transformation) die folgende Form haben:

δ L = ϵ \frac{D}{D T} F (Q, T)

$\delta L = \epsilon \frac{d}{dt} f(q,t)$ Seit

f

$f$ ist nur davon abhängig

q

$q$ Und

t

$t$ , wissen wir, dass sich die Lagrange-Funktion im Wesentlichen nicht geändert hat (führt zu den gleichen Bewegungsgleichungen) und daher unter der Koordinatentransformation symmetrisch ist.
Aber als ich mir den Beweis des Satzes von Noether ansah, stellte ich fest, dass es wirklich nicht notwendig ist

f

$f$ nicht abhängig zu sein

\dot{q}

$\dot q$ . Die Bedingung

δ L = ϵ \frac{D}{D T} F (Q, \dot{Q}, T)

$\delta L = \epsilon \frac{d}{dt} f(q,\dot q ,t)$ für den Satz von Noether ausreichend ist (in dem Sinne, dass Sie eine Erhaltungsgröße erhalten).
Also was übersehe ich hier? Ich dachte, der Satz von Noether besagt, dass jede Symmetrie eine Erhaltungsgröße impliziert und jede Erhaltungsgröße eine Symmetrie impliziert. Aber wenn man sich das ansieht, scheint es, als gäbe es einige Erhaltungsgrößen, die nicht mit irgendeiner Symmetrie zusammenhängen. Oder verstehe ich das Konzept der Symmetrie falsch?

Antworten (2)

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Dirakologie · Answer 1

Der Satz von Noether besagt tatsächlich, dass kontinuierliche Symmetrien der Aktion Bewegungskonstanten implizieren. Der Teufel steckt im Detail und die Details hier sind die Begriffe Symmetrien der Aktion und Bewegungskonstanten . Unter Symmetrien der Wirkung werden Transformationen verstanden, die die Wirkung invariant oder quasi-invariant lassen, dh die Bewegungsgleichungen nicht ändern. Bewegungskonstanten sind Größen, die über die zeitliche Entwicklung des Systems konstant sind.

Wenn man eine infinitesimale Transformation durchführt $q\rightarrow q+\epsilon \chi$ , die Lagrange-Änderung als

δ L = \frac{\partial L}{\partial Q} ϵ χ + \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} ϵ \dot{χ} = ϵ (\dot{P} χ + P \dot{χ}) = ϵ \frac{D}{D T} (P χ) .

$\delta L=\frac{\partial L}{\partial q}\epsilon\chi+\frac{\partial L}{\partial \dot q}\epsilon\dot\chi=\epsilon (\dot p\chi +p\dot\chi)=\epsilon\frac{d}{dt}(p\chi).$ Damit die Wirkung höchstens quasi-invariant ist,

S

$S$ Und

S^{'}

$S'$ dürfen sich höchstens um einen Begriff unterscheiden

f (q, t)

$f(q,t)$ , da in diesem Fall das Hamiltonsche Prinzip die gleichen Bewegungsgleichungen impliziert. Daher können wir überlegen,

S^{'} - S = ϵ \int δ L D T = ϵ \int \frac{D F (Q, T)}{D T} D T,

$S'-S=\epsilon\int\delta Ldt=\epsilon\int \frac{df(q,t)}{dt}dt,$ und deshalb

\frac{D}{D T} (P χ) = \frac{D F (Q, T)}{D T},

$\frac{d}{dt}(p\chi)=\frac{df(q,t)}{dt},$ oder

C = P χ - F (Q, T),

$C=p\chi-f(q,t),$ ist eine Bewegungskonstante entlang der zeitlichen Entwicklung des Systems.

Wenn

δ L = ϵ \frac{D F (Q, \dot{Q}, T)}{D T},

$\delta L=\epsilon \frac{df(q,\dot q,t)}{dt},$ Dann

S^{'} - S = ϵ \int δ L D T = ϵ \int \frac{D F (Q, \dot{Q}, T)}{D T} D T .

$S'-S=\epsilon\int\delta Ldt=\epsilon\int \frac{df(q,\dot q,t)}{dt}dt.$ Allerdings können wir das nicht sagen

C^{'} = P χ - F (Q, \dot{Q}, T)

$C'=p\chi-f(q,\dot q,t)$ ist eine Bewegungskonstante, weil sich die Bewegungsgleichungen selbst geändert haben. Das System hat eine dynamische Evolution vor der Transformation und eine andere danach. Es ist sinnlos, den Wert einer dynamischen Variablen anhand verschiedener dynamischer Entwicklungen zu vergleichen.

QMechaniker · Answer 2

OP schrieb (v3):

[...] Es stellt sich heraus, dass $L^´:=L+\frac{d}{dt}f(q,t)$ führt zu genau denselben Bewegungsgleichungen (für jede Funktion $f(q,t)$ ), damit wir überlegen können $L$ Und $L^´$ gleichwertige Lagrange. Beachten Sie jedoch, dass dies nur funktioniert, wenn $f$ ist nicht abhängig $\dot{q}$ . Wenn $f$ kommt drauf an $\dot{q}$ die Lagrangianer könnten tatsächlich zu anderen Bewegungsgleichungen führen. [...]

Wenn die Variations-/Funktionsableitungen vorhanden sind, hängen die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen nicht davon ab $f$ auch wenn es darauf ankommt $\dot{q}$ , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

[...] Aber als ich mir den Beweis von Noethers Theorem ansah, stellte ich fest, dass es wirklich nicht notwendig ist $f$ nicht abhängig zu sein $\dot q$ . [...]

Richtig.

[...] Ich dachte, der Satz von Noether besagt, dass jede Symmetrie eine Erhaltungsgröße impliziert und jede Erhaltungsgröße eine Symmetrie impliziert. [...]

Nur ersteres ist der Satz von Noether . Letzteres wäre der inverse Satz von Noether , der nur unter zusätzlichen Annahmen gilt.

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Daniel W.

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