Gibt es ein sinnvolles vollständig diskretisiertes Hamilton-Prinzip?

In der Computerphysik ist es üblich, das Hamilton-Prinzip auf halbdiskrete Weise zu formulieren, wobei der Raum kontinuierlich, die Zeit jedoch diskret ist: mit anderen Worten die Lagrange-Funktion

L ( Q , Q ˙ , T ) : R N × R N × Z → R
wird eine Funktion von zwei reellen und einer ganzzahligen Variablen. Das Auferlegen des Hamilton-Prinzips der Extremalwirkung führt zu besonders schönen diskreten Zeitentwicklungsgleichungen, die automatisch einem diskreten Noether-Theorem gehorchen, die symplektische Struktur bewahren usw.

Gibt es eine vernünftige Möglichkeit, die obige Idee in eine Umgebung zu bringen, in der L ist rein diskret? Dh,

L : Z 3 × Z 3 × Z → Z
wo Position, Masse, Geschwindigkeit, Zeit und potentielle Energie ganzzahlige Größen sind?

Wie werden die Euler-Lagrange-Gleichungen aussehen? Die Optimalität erster Ordnung der Aktion sieht ganz anders aus, da es keine kontinuierliche Ableitung mehr gibt, die gleich Null gesetzt werden kann, aber ich denke, man kann Systeme von Ungleichungen aufschreiben, die die Tatsache codieren, dass die Aktion (diskret) extremisiert ist. Erhalten Sie daraus eine vernünftige Zeitentwicklung? Gibt es in dieser Umgebung ein Äquivalent zum Satz von Noether?

Antworten (1)

Kommentare zur Frage (v2):

  1. Oft ist es möglich, (diskrete) Zeitentwicklungsgleichungen/Bewegungsgleichungen (eoms) in einer diskretisierten Theorie zu formulieren. Dies ist natürlich in der Computerphysik nützlich. OP fordert jedoch ein Variationsprinzip für eine vollständig diskretisierte Theorie. Daher werden wir den Fall, in dem die Eoms (ohne Variationsprinzip) das erste Prinzip der Theorie bilden, nicht weiter diskutieren.

  2. In einem weniger ehrgeizigen Schema sollen wir nur überprüfen, ob, wenn einige Eoms erfüllt sind, die Variation einer Aktion Null ist. (Mit anderen Worten, die Aktion hat einen stationären Punkt.) Dies ist in einigen Fällen möglich, widerspricht jedoch dem Geist einer Off-Shell-Formulierung, und wir werden dies in dieser Antwort nicht weiter diskutieren.

  3. Im ehrgeizigsten Schema sollen wir eine diskrete Version von Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen (eoms) aus einem Variationswirkungsprinzip ableiten . Das wird uns hier interessieren.

  4. Horizontale Diskretisierung (z. B. Diskretisierung der Zeitvariablen T in Punktmechanik und Raumzeitvariablen X μ in der Feldtheorie) ist kein Problem, wie OP erwähnt, siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.

  5. Das Problem ist die vertikale Diskretisierung, also die Diskretisierung im Zielraum für die dynamisch aktiven Variablen der Theorie (z Q in Punktmechanik). Wir werden von nun an nur noch diesen letzteren Fall diskutieren.

  6. Man kann immer noch ein Prinzip der kleinsten Wirkung postulieren , aber es ist nicht klar, wie man eine Variationsableitung erhält (Bedingungen an), wenn die Q Variable nimmt nur diskrete Werte an.

  7. In einigen Fällen wird es einen natürlichen Kandidaten für die Ersetzung der Euler-Lagrange-Gleichung geben , vgl. Punkt. 2, aber es ist unklar, wie dies aus dem obigen Prinzip der geringsten Wirkung allein im Sinne von Pkt. abgeleitet werden könnte. 3. Wir hören damit auf, ein No-Go-Theorem zu erklären, aber es sieht sicherlich nicht vielversprechend aus.

  8. Der Satz von Noether für diskrete Symmetrien wurde zB in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert, der auch einige der Schwierigkeiten bei der Formulierung eines Variationsprinzips mit vertikaler Diskretisierung verdeutlicht.

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