Hilfe zum Verständnis eines Konzepts in Noethers erstem Theorem

Zunächst einmal bin ich der Meinung, dass das Papier zu Ihrem Link voller Notationsinkonsistenzen ist und daher für jemanden, der Schwierigkeiten hat, Noethers Theorem zu verstehen, große Verwirrung stiftet. Erlauben Sie mir also, die feldtheoretische Version des Satzes von Noether auf eine für meinen Geschmack charmantere Art zu formulieren.

Vorbereitungen 1: Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Jedes Element einer$N$-dimensionale Lügengruppe$G$kann durch einen Punkt eines Unterraums von parametrisiert werden${{\mathbf{R}}^{N}}$. Mit anderen Worten, ein Element$g\in G$kann als Karte betrachtet werden:$g:{{\mathbf{R}}^{N}}\backepsilon \omega \mapsto {{g}_{\omega }}\in G$. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen${{g}_{0}}=e$, das Identitätselement von$G$. Nehmen wir nun an, wir haben eine$n$-dimensionales reelles Vektorfeld:

$\varphi :\Omega \backepsilon x\mapsto \varphi \left( x \right)\in {{\mathbf{R}}^{n}}$

Wo$\Omega \subseteq {{\mathbf{R}}^{\left( 1,3 \right)}}$, mit$n$echte Komponenten${{\varphi }_{i}}\ ,\ i=1,..,n$, sodass die Randbedingung erfüllt ist${{\left. \varphi \right|}_{\partial \Omega }}=0$. Nehmen Sie außerdem an, dass es sich um ein Gruppenelement handelt${{g}_{\omega }}$wird als implementiert$n$-dimensionale Darstellung von$G$. Wir können nun die lineare Transformation betrachten:

${{g}_{\omega }}:\varphi \to {{g}_{\omega }}\varphi \quad ,\quad {{\left( {{g}_{\omega }}\varphi \right)}_{i}}:=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\left( {{g}_{\omega }} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Wenn$\varepsilon \in {{\mathbf{R}}^{N}}$ist ein unendlich naher Punkt$0$Dann${{g}_{\varepsilon }}$wird ein Gruppenelement sein, das der Identität „unendlich nahe“ ist$e$, in dem Sinne, dass:

${{g}_{\varepsilon }}\varphi ={{g}_{0}}\varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\left[ \tfrac{\partial }{\partial {{\omega }_{I}}}{{g}_{\omega }}\varphi \right]}_{\omega =0}}}+\mathcal{O}\left( {{\varepsilon }^{2}} \right)=\varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi }+\mathcal{O}\left( {{\varepsilon }^{2}} \right)$

Wo${{T}_{I}}\varphi :={{\left[ \tfrac{\partial }{\partial {{\omega }_{I}}}{{g}_{\omega }}\varphi \right]}_{\omega =0}}$. Die Vektoren${{T}_{I}}$bilden eine Grundlage für die$n$-dimensionale Darstellung der Lügenalgebra$\mathrm{}$von$G$und sie transformieren das Feld wie folgt:

${{T}_{I}}:\varphi \to {{T}_{I}}\varphi \quad ,\quad {{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\left( {{T}_{I}} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Vorbereitungen 2: Lagrange-Formulierung und Hamilton-Prinzip

Die Dynamik des Feldes$\varphi \left( x \right)$kann in der Funktion „Lagrange-Dichte“ kodiert werden$\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$, was eine Funktion ist, so dass die „Euler-Lagrange-Gleichungen“:

$\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}-{{\partial }_{\mu }}\left( \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}} \right)=0\quad ,\quad i=1,...,n$

sind äquivalent zu den Bewegungsgleichungen der Feldkomponenten. In unserer Verfügung haben$\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$wir können die Bewegungsgleichungen als Variationsprinzip, das „Prinzip der kleinsten Wirkung“ („Hamiltonsches Prinzip“) wie folgt umformulieren:

i) Definieren Sie die „Aktion funktional“ als:

$S\left[ \varphi \right]:=\int\limits_{\Omega }{\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right){{d}^{4}}x}$

ii) Das funktionelle Derivat von$S\left[ \varphi \right]$wrt die Feldkomponente${{\varphi }_{i}}$ist ein Lagrange-Ausdruck, dh:

$\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}-{{\partial }_{\mu }}\left( \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}} \right)$

wobei für die Ableitung dieses Ergebnisses die Randbedingung${{\left. \varphi \right|}_{\partial \Omega }}=0$berücksichtigt wurde.

iii) Aus dem Obigen leiten wir ab, dass, wenn das Feld ein stationärer Punkt von ist$S\left[ \varphi \right]$, dh wenn:

$\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=0\quad ,\quad i=1,...,n$

dann sind die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt und umgekehrt. Abschließend lassen sich die Bewegungsgleichungen des Feldes durch ein Variationsprinzip, das „Prinzip der kleinsten Wirkung“, herleiten. Das ist „Hamiltons Prinzip“.

Definition von Symmetriegruppe

Die Lügengruppe$G$ist eine „Symmetriegruppe“ für die Theorie des Feldes$\varphi$wenn die Aktion funktioniert$S\left[ \varphi \right]$invariant ist (allgemeiner, wenn sie sich durch einen Randterm unterscheidet${{S}_{\partial \Omega }}$) unter der Wirkung von irgendwelchen${{g}_{\omega }}\in G$, dh wenn:$S\left[ {{g}_{\omega }}\varphi \right]=S\left[ \varphi \right]$Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf den Fall, dass die Lagrange-Dichte invariant ist:

$\mathsf{L}\left( {{g}_{\omega }}\varphi ,{{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\omega }}\varphi \right) \right)=\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$

was eine hinreichende Bedingung für die Invarianz der Wirkung ist. Lassen Sie uns den Fall untersuchen, wo${{g}_{\omega }}$ist eine infinitesimale Transformation. Dann würden die Feldkomponenten wie folgt variieren:

${{\delta }_{\varepsilon }}\varphi :={{g}_{\varepsilon }}\varphi -\varphi =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi }$

und ihre räumlichen Ableitungen als:

${{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{,\mu }}:={{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi \right)-{{\partial }_{\mu }}\varphi ={{\partial }_{\mu }}\left( \varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi } \right)-{{\partial }_{\mu }}\varphi ={{\partial }_{\mu }}\left( {{\delta }_{\varepsilon }}\varphi \right)$

Dann würde der Lagrange wie folgt variieren:

$\begin{align} & {{\delta }_{\varepsilon }}\mathsf{L}:=\mathsf{L}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi ,{{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi \right) \right)-\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{i}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{i,\mu }} \right]} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\partial }_{\mu }}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}} \right]} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\partial }_{\mu }}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]}} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]-{{\partial }_{\mu }}\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]}} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }} \right)} \\ \end{align}$

Wo:

$J_{I}^{\mu }:=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}=\sum\limits_{i,j=1}^{n}{\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Die Invarianz der Lagrange-Dichte wird also ausgedrückt als:

${{\delta }_{\varepsilon }}\mathsf{L}=0\Rightarrow \sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }} \right)=0}$

und da${{\varepsilon }_{I}}$'s als unabhängige Parameter betrachtet werden, dann gilt der obige Ausdruck iff:

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\quad ,\quad I=1,..,N$

Dies ist Noethers erster Satz! Beachten Sie nun, dass wenn die Felder so sind, dass sie den Bewegungsgleichungen gehorchen (im Physikjargon „on-shell“ sind), dh wenn$\tfrac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=0$Dann:

${{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\quad ,\quad I=1,..,N$

dh dass die Strömungen$J_{I}^{\mu }$sind lokal konserviert. Dies ist die Essenz von Noethers Theorem: Es besagt, dass es für jede Symmetrie einer physikalischen Theorie einen entsprechenden erhaltenen Strom gibt; meiner Meinung nach einer der schönsten Sätze der Physik. Das obige Erhaltungsgesetz, das in kovarianter Form vorliegt, kann wie folgt ausgedrückt werden:

${{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\Rightarrow {{\partial }_{t}}J_{I}^{0}=-\nabla \cdot {{\mathbf{J}}_{I}}\Rightarrow {{\partial }_{t}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{J_{I}^{0}{{d}^{3}}x}=-\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{\left( \nabla \cdot {{\mathbf{J}}_{I}} \right){{d}^{3}}x}$

Wo${{\Omega }_{t}}$ist eine iso-temporale Unterfläche von$\Omega$. Mit dem Divergenzsatz von Gauß erhalten wir:

${{\partial }_{t}}{{Q}_{I}}=-\int\limits_{\Sigma \equiv \partial {{\Omega }_{t}}}{{{\mathbf{J}}_{I}}\cdot d\,\mathbf{\Sigma }}$

Wo:

${{Q}_{I}}:=\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{J_{I}^{0}{{d}^{3}}x}$

Unter der Annahme einer „Dirichlet-Randbedingung“:

${{\left. {{\mathbf{J}}_{I}} \right|}_{\partial {{\Omega }_{t}}}}=0$

oder eine „Neuman-Randbedingung“:

${{\mathbf{J}}_{I}}\left( x \right)\cdot \mathbf{n}\left( x \right)=0\ ,\ \forall x\in \partial {{\Omega }_{t}}\quad |\quad d\mathbf{\Sigma }=\mathbf{n}d\Sigma$

Dann:

$\int\limits_{\Sigma \equiv \partial {{\Omega }_{t}}}{{{\mathbf{J}}_{I}}\cdot d\mathbf{\Sigma }}=0$

also die${{J}_{I}}$Die gegenwärtige Erhaltung von von impliziert, dass die „Ladung“${{Q}_{I}}$zeitlich konstant ist, also erhalten bleibt.