Konservierte Ströme aus dem Satz von Noether

Question

Konservierte Ströme aus dem Satz von Noether

Wirbelsäulenfest

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das Konzept richtig verstehe. Gegeben eine infinitesimale Transformation

ϕ \to ϕ + a Δ ϕ

$\phi \rightarrow \phi + \alpha \Delta\phi$

die Änderung der Lagrange-Dichte $\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$ Ist

L \to L + a Δ L

$\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} + \alpha \Delta\mathcal{L}$

Damit die Transformation eine Symmetrie ist, kann sich der neue Lagrange nur durch eine Viererdivergenz unterscheiden, so dass

Δ L = \partial_{μ} J^{μ}

$\Delta\mathcal{L} = \partial_\mu J^\mu$

für einen Vierervektor $J^\mu$ .

Nun haben wir unter Verwendung von EL-Gleichungen die Identität

\partial_{μ} J^{μ} = \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} Δ ϕ)

$\partial_\mu J^\mu = \partial_\mu\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\right)$

Daraus ergibt sich schließlich der "erhaltene Strom":

J^{μ} \equiv J^{μ} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} Δ ϕ

$j^\mu \equiv J^\mu-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi$

Wie auch immer, ich versuche, eine Berechnung für ein konkretes Beispiel der Lagrange-Funktion durchzuführen $\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$ und Verwandlung $\phi \rightarrow \phi + \alpha$ für konstant $\alpha$ .

Dafür, $\Delta\mathcal{L} = 0 = \partial_\mu J^\mu$ . Auch $\Delta\phi = 1$ . So

\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} Δ ϕ = \partial^{μ} ϕ

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi = \partial^\mu \phi$

Und

J^{μ} = J^{μ} - \partial^{μ} ϕ

$j^\mu = J^\mu - \partial^\mu \phi$

Peskin & Schroeder sagen, dass der erhaltene Strom gerecht ist $j^\mu = \partial^\mu \phi$ . Ich nehme an, das liegt daran, dass es bis zu einer 4-Divergenz definiert ist. Also in diesem Fall $J^\mu$ weggelassen werden und auch das Minuszeichen spielt keine Rolle, da es auch bis auf eine multiplikative Konstante definiert ist.

Bitte korrigieren Sie mein Verständnis davon. Was ich hier am schwierigsten zu verstehen habe, ist, wie die verschiedenen Objekte "bis zu" etwas definiert werden.

AccidentalFourierTransform

Als

Δ L = 0

$\Delta\mathcal L=0$ , du hast

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ . Deshalb,

j^{μ} \propto \partial^{μ} ϕ

$j^\mu\propto\partial^\mu\phi$ (Du stellst dich auf

- 1

$-1$ die Konstante der Proportionalität, P&S zu

+ 1

$+1$ : Der tatsächliche Wert ist irrelevant. Wenn

j^{μ}

$j^\mu$ ist konserviert, also ist

{\tilde{j}}^{μ} = A j^{μ}

$\tilde j^\mu=A j^\mu$ für alle

A \in C

$A\in\mathbb C$ ). Sie haben die richtige Antwort gefunden, aber die Sache ist, die Antwort ist nicht eindeutig! deshalb unterscheiden sich Ihre und P&S's. (beachten Sie, dass

\partial_{μ} J^{μ} = 0

$\partial_\mu J^\mu=0$ impliziert das nicht

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ , aber

j^{μ}

$j^\mu$ modulo ein geschlossenes Feld definiert ist, können Sie festlegen

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ WLOG).

Wirbelsäulenfest

Erläutern Sie bitte, was Sie mit "definiertes Modulo eines geschlossenen Feldes" meinen. Ich vermute, dass dies der Knackpunkt der Sache ist.

geniert

Ich würde empfehlen, zuerst den Satz von Noether ohne die herzuleiten

J^{μ}

$J^{\mu}$ und erst dann erkennen, dass sich nicht viel ändert, wenn man einen zusätzlichen Strom hinzufügt.

AccidentalFourierTransform

@DepeHb Ein geschlossenes Feld

f^{μ}

$f^\mu$ ist irgendein Feld so, dass

\partial_{μ} f^{μ} = 0

$\partial_\mu f^\mu=0$ . Zum Beispiel,

j^{μ}

$j^\mu$ ist ein abgeschlossenes Feld. Wenn Sie zwei geschlossene Felder hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls geschlossen (

\partial_{μ} (f^{μ} + j^{μ}) = \partial_{μ} f^{μ} + \partial_{μ} j^{μ} = 0

$\partial_\mu(f^\mu+j^\mu)=\partial_\mu f^\mu+\partial_\mu j^\mu=0$ ). Das bedeutet, dass der Noetherstrom

j^{μ}

$j^\mu$ ist nicht eindeutig: wenn Sie ein geschlossenes Feld hinzufügen

j^{μ}

$j^\mu$ , der resultierende Strom bleibt ebenfalls erhalten und ist somit genauso gültig wie der ursprüngliche Strom. In Ihrem Beispiel wissen Sie nicht, was

J^{μ}

$J^\mu$ ist, aber Sie sind sicher, dass es geschlossen ist. So können Sie einstellen

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ WLOG.

Wirbelsäulenfest

Was ist, wenn es ein komplexes Skalarfeld gibt? Gibt es zwei erhaltene Ströme?

Antworten (1)

Konservierte Ströme aus dem Satz von Noether

Als $\Delta\mathcal L=0$ , du hast $J^\mu=0$ . Deshalb, $j^\mu\propto\partial^\mu\phi$ (Du stellst dich auf $-1$ die Konstante der Proportionalität, P&S zu $+1$ : Der tatsächliche Wert ist irrelevant. Wenn $j^\mu$ ist konserviert, also ist $\tilde j^\mu=A j^\mu$ für alle $A\in\mathbb C$ ). Sie haben die richtige Antwort gefunden, aber die Sache ist, die Antwort ist nicht eindeutig! deshalb unterscheiden sich Ihre und P&S's. (beachten Sie, dass $\partial_\mu J^\mu=0$ impliziert das nicht $J^\mu=0$ , aber $j^\mu$ modulo ein geschlossenes Feld definiert ist, können Sie festlegen $J^\mu=0$ WLOG).
Erläutern Sie bitte, was Sie mit "definiertes Modulo eines geschlossenen Feldes" meinen. Ich vermute, dass dies der Knackpunkt der Sache ist.
Ich würde empfehlen, zuerst den Satz von Noether ohne die herzuleiten $J^{\mu}$ und erst dann erkennen, dass sich nicht viel ändert, wenn man einen zusätzlichen Strom hinzufügt.
@DepeHb Ein geschlossenes Feld $f^\mu$ ist irgendein Feld so, dass $\partial_\mu f^\mu=0$ . Zum Beispiel, $j^\mu$ ist ein abgeschlossenes Feld. Wenn Sie zwei geschlossene Felder hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls geschlossen ( $\partial_\mu(f^\mu+j^\mu)=\partial_\mu f^\mu+\partial_\mu j^\mu=0$ ). Das bedeutet, dass der Noetherstrom $j^\mu$ ist nicht eindeutig: wenn Sie ein geschlossenes Feld hinzufügen $j^\mu$ , der resultierende Strom bleibt ebenfalls erhalten und ist somit genauso gültig wie der ursprüngliche Strom. In Ihrem Beispiel wissen Sie nicht, was $J^\mu$ ist, aber Sie sind sicher, dass es geschlossen ist. So können Sie einstellen $J^\mu=0$ WLOG.
Was ist, wenn es ein komplexes Skalarfeld gibt? Gibt es zwei erhaltene Ströme?

Bruce Lee · Answer 1

Für den gegebenen Fall da $\partial _\mu J^{\mu} = 0$ , besteht keine Notwendigkeit, diesen Grenzterm zu dem erhaltenen Strom hinzuzufügen $j^{\mu}$ da die Hinzufügung bedeutungslos ist, da es keine Rolle spielt, außer sich zu einem bedeutungslosen Faktor zu addieren. Wir haben bereits für die Gleichung des erhaltenen Stroms $\partial_{\mu} j^{\mu} = 0$ und wir können einen beliebigen Begriff hinzufügen $a^{\mu}$ Zu $j^{\mu}$ solange es befriedigt $\partial _{\mu} a^{\mu} = 0$ . Daher ist es wirklich irrelevant, die zu haben $J^{\mu}$ Teil.

Was den zweiten Teil der Frage betrifft, haben Sie Recht, wenn Sie sagen, dass das Minuszeichen weggelassen werden kann, da es bis zu einer multiplikativen Konstante definiert ist.

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