Bewegungskonstanten des paarweise interaktiven NNN-Teilchensystems

Machen wir das Problem einfach und betrachten wir die Situation, in der es ein System gibt$N$Teilchen, die sich im dreidimensionalen Raum bewegen, wird durch die Lagrange-Funktion beschrieben:

$$L = \frac 12 \sum ^N_{i=1}m_i\dot {\boldsymbol x}_i^2 - \frac 12 \sum _{i=1}^N \sum _{j=1}^N U_{ij}(\boldsymbol A \cdot (\boldsymbol x_i-\boldsymbol x_j))$$

in denen jedes Paar$\left(i,j\right)$von Partikeln darf ein unterschiedliches Wechselwirkungspotential haben$U_{ij}\left(a\right) = U_{ji}\left(a\right)$, Und$A$ist ein konstanter Vektor, der für alle Paare gleich ist. Im Wesentlichen sage ich, dass die Teilchen nur eine paarweise Wechselwirkung haben, die von ihrer Trennung entlang der Richtung des A-Vektors abhängt.

Es gibt einige offensichtliche Bewegungskonstanten, zum Beispiel:

• Die dazu orthogonale Komponente des linearen Impulses$\boldsymbol{A}$Vektor jedes Teilchens, gebend$2N$Bewegungskonstanten
• Gesamter linearer Impuls entlang des A-Vektors
• Die Gesamtenergie.

Mir wurde jedoch gesagt, dass ich in der Lage bin zu finden$3N+2$Bewegungskonstanten aus dem Satz von Noether (oder anders). Hier habe ich nur gefunden$2N+2$Bewegungskonstanten. Was sind die anderen Bewegungskonstanten?