Auswahl einer Erhaltungsgröße, um eine Symmetrie über den Umkehrsatz von Noether zu erhalten

Question

Auswahl einer Erhaltungsgröße, um eine Symmetrie über den Umkehrsatz von Noether zu erhalten

rsaavedra

Der Umkehrsatz von Noether besagt, dass es eine Symmetrie geben muss $\delta q^{i}$ eine Erhaltungsgröße gegeben $C$ .

δ Q^{ich} = ϵ W^{ich J} \frac{\partial C}{\partial Q^{J}},

$\delta q^{i}=\epsilon W^{ij}\frac{\partial C}{\partial q^{j}},$

Wo $\epsilon$ eine beliebige Konstante und ist $W^{ij}$ ist das Hessische des Lagrange.

Im Grunde kann man einiges erahnen $C$ erhalten $\delta q^{i}$ aus dieser Gleichung, aber normalerweise weiß man aus der Lagrange-Funktion, welche $C$ ist dafür geeignet.

Meine Frage ist: Gibt es eine Möglichkeit zu wissen, was keine Erhaltungsgröße für das System ist? Oder eine Möglichkeit, diese Gleichung fehlschlagen zu lassen, wenn a gegeben ist $C$ ?

Insbesondere arbeite ich mit dem Lagrange:

L = \frac{M}{2} ({\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - v (X^{2} + j^{2} + z^{2}) - \frac{M}{2} [(\dot{X} j - \dot{j} X) ω^{2} + ω^{2} (X^{2} + j^{2})]

$L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-V(x^{2}+y^{2}+z^{2})-\frac{m}{2}[(\dot{x}y-\dot{y}x)\omega^{2}+\omega^{2}(x^{2}+y^{2})]$

Wo $V$ ist eine ableitbare Funktion.

Ich fand, dass die Energie $E$ ergibt eine bestimmte Symmetrie. Aber ich habe Angst davor, den Drehimpuls einzufügen und zu finden, dass es eine andere Symmetrie gibt, und tatsächlich Angst, dass alles, was ich in die Gleichung einfügen würde, mehr Symmetrien ergeben würde ... Ich denke, es sollte etwas geben, das mir sagt, dass einige davon eigentlich keine Symmetrien.

Parker

Das sieht nicht wie eine Noether-Theorem-Formel aus, die ich je gesehen habe ...

Bob Bee

Sieht aus wie vielleicht Achsensymmetrie um z. Du kannst es versuchen. Für mich nicht offensichtlich, ob der xy-Punkt-yx-Punkt symmetrisch ist, und ich muss wahrscheinlich noch etwas nachdenken. Versuchen Sie die Rotation um z. Ich werde nachsehen, ob es ein anderes Verfahren als das Raten gibt - und einfacher, indem ich die Symmetrie, z. B. die Drehung um eine Achse, als die Erhaltungsgröße ausprobiere.

L_{z}

$L_z$

rsaavedra

@tparker, mein Lehrer nannte es "Noethers Inverse Theorem" in dem Sinne, dass Sie eine Symmetrie aus einer konservierten Größe erhalten können ... (ich habe es auch nirgendwo im Internet gesehen)

Bob Bee

Ok, wenn Sie C erraten können. Ich denke nur, das ist schwieriger, aber Sie könnten es versuchen

L_{z}

$L_z$ . Ich bin mir nicht sicher, ob es funktionieren wird, vielleicht muss der Begriff X Punkt y usw. dafür quadratisch sein, ich kann nicht auf den Beinen denken. Ich denke, die anderen Terme sind axialsymmetrisch, aber ich könnte mich irren. Muss es versuchen.

Antworten (1)

Auswahl einer Erhaltungsgröße, um eine Symmetrie über den Umkehrsatz von Noether zu erhalten

Das sieht nicht wie eine Noether-Theorem-Formel aus, die ich je gesehen habe ...
Sieht aus wie vielleicht Achsensymmetrie um z. Du kannst es versuchen. Für mich nicht offensichtlich, ob der xy-Punkt-yx-Punkt symmetrisch ist, und ich muss wahrscheinlich noch etwas nachdenken. Versuchen Sie die Rotation um z. Ich werde nachsehen, ob es ein anderes Verfahren als das Raten gibt - und einfacher, indem ich die Symmetrie, z. B. die Drehung um eine Achse, als die Erhaltungsgröße ausprobiere. $L_z$
@tparker, mein Lehrer nannte es "Noethers Inverse Theorem" in dem Sinne, dass Sie eine Symmetrie aus einer konservierten Größe erhalten können ... (ich habe es auch nirgendwo im Internet gesehen)
Ok, wenn Sie C erraten können. Ich denke nur, das ist schwieriger, aber Sie könnten es versuchen $L_z$ . Ich bin mir nicht sicher, ob es funktionieren wird, vielleicht muss der Begriff X Punkt y usw. dafür quadratisch sein, ich kann nicht auf den Beinen denken. Ich denke, die anderen Terme sind axialsymmetrisch, aber ich könnte mich irren. Muss es versuchen.

QMechaniker · Answer 1

Es ist am besten/systematischsten, den inversen Satz von Noether im Kontext des Hamiltonschen Formalismus (im Gegensatz zum Lagrange-Formalismus) zu diskutieren, vgl. B. diese und diese Phys.SE-Beiträge, die auch Lagrange-Gegenbeispiele liefern. Daher OPs Lagrangian der Form

L = \frac{M}{2} ({\dot{Q}}_{X}^{2} + {\dot{Q}}_{j}^{2} + {\dot{Q}}_{z}^{2}) + B ({\dot{Q}}_{j} Q_{X} - {\dot{Q}}_{X} Q_{j}) - v (Q)

$L~=~\frac{m}{2}(\dot{q}_x^2+\dot{q}_y^2+\dot{q}_z^2)+B(\dot{q}_yq_x-\dot{q}_xq_y)-V(q)$ sollte vorzugsweise zuerst Legendre in den entsprechenden Hamiltonoperator transformiert werden

H = \frac{1}{2 M} ({(P_{X} + B Q_{j})}^{2} + {(P_{j} - B Q_{X})}^{2} + P_{z}^{2}) + v (Q) .

$H~=~\frac{1}{2m}\left( \left(p_x +Bq_y \right)^2+\left(p_y -Bq_x \right)^2 +p_z^2 \right) + V(q).$

Dann haben wir, wie in Aussage 3 in meiner Phys.SE-Antwort hier gezeigt , ein inverses Noether-Theorem: Wenn $Q=Q(q,p,t)$ eine Bewegungskonstante ist , dann das entsprechende Hamiltonsche Vektorfeld

- X_{Q} := - {Q, \cdot} = {\cdot, Q}

$-X_Q~:=~ -\{Q,\cdot \} ~=~\{\cdot ,Q\}$ erzeugt eine Quasisymmetrie der Phasenraumwirkung.

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rsaavedra

Parker

Bob Bee

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