Das ursprüngliche Noether-Theorem geht von einer Lagrange-Formulierung aus. Gibt es für den Hamiltonschen Formalismus eine Art Noether-Theorem?
Handlungsformulierung. Es sollte betont werden, dass der Satz von Noether eine Aussage über Konsequenzen von Symmetrien eines Aktionsfunktionals ist (im Gegensatz zu zB Symmetrien von Bewegungsgleichungen oder Lösungen davon, vgl. diesen Phys.SE-Beitrag). Um den Satz von Noether anzuwenden, benötigen wir also zunächst eine Aktionsformulierung. Wie erhalten wir eine Aktion für eine Hamiltonsche Theorie? Betrachten wir der Einfachheit halber die Punktmechanik (im Gegensatz zur Feldtheorie, die eine einfache Verallgemeinerung ist). Dann lautet die Hamilton-Aktion
Hier ist die sogenannte Hamiltonsche Lagrangedichte
Wir können die Wirkung (1) als ein Lagrange-System erster Ordnung betrachten in doppelt so vielen Variablen
Gl. der Bewegung. Man kann beweisen, dass die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen für die Hamiltonsche Wirkung (1) zu den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen führen
[Hier die Symbol bedeutet Gleichheit auf der Schale, dh Modulo der Bewegungsgleichungen (eom).] Äquivalent für eine beliebige Größe wir können die Hamilton's eoms (4) kollektiv schreiben als
Um auf die Frage von OP zurückzukommen, kann das Noether-Theorem dann auf die Hamilton-Aktion (1) angewendet werden, um Symmetrien und Erhaltungssätze zu untersuchen.
Aussage 1: "Eine Symmetrie wird durch ihre eigene Noether-Ladung erzeugt."
Skizzierter Beweis: Gegeben sei eine infinitesimale (vertikale) Transformation
wo sind (vertikale) Generatoren, und ist ein infinitesimaler Parameter. Die Transformation (6) sei eine Quasisymmetrie des Hamiltonschen Lagrangians
wo ist irgendeine Funktion. Per Definition ist die bloße Noether-Ladung
dabei ist die volle Noetherladung
Der Satz von Noether garantiert dann eine Off-Shell-Noether-Identität
Durch den Vergleich von Koeffizientenfunktionen von auf den beiden Seiten von Gl. (10) schließen wir daraus, dass die volle Noether-Ladung erzeugt die Quasisymmetrietransformation
Aussage 2: "Ein Symmetriegenerator ist im Wesentlichen eine Bewegungskonstante."
Skizzierter Beweis: Es sei eine Menge gegeben (a priori nicht unbedingt die Noether-Ladung) so dass die infinitesimale Transformation
generiert durch , und mit infinitesimalen Parametern , ist eine Quasisymmetrie (7) der Hamilton-Lagrange-Funktion. Die bloße Noether-Ladung ist per Definition
Der Satz von Noether garantiert dann eine Off-Shell-Noether-Identität
Erstens impliziert das Noether-Theorem, dass die entsprechende volle Noether-Ladung wird auf der Schale konserviert
was auch direkt aus Gl. (5) und (14). Zweitens kann die Off-Shell-Noether-Identität (14) umgeschrieben werden als
wo wir die Menge definiert haben
Wir schließen aus der Off-Shell-Identität (16), dass (i) ist nur eine Funktion der Zeit,
[Weil erscheint nicht auf der linken Seite. von Gl. (16)]; und (ii) dass die folgende Off-Shell-Identität gilt
Beachten Sie, dass die Quasisymmetrie und die Gl. (12)-(15) sind invariant, wenn wir den Generator neu definieren
Dann das neue verschwindet. Lässt man die Tilde aus der Notation fallen, vereinfacht sich die Off-Shell-Identität (19) zu
Gl. (21) ist die Definitionsgleichung für eine Bewegungskonstante außerhalb der Schale .
Aussage 3: "Eine Bewegungskonstante erzeugt eine Symmetrie und ist ihre eigene Noether-Ladung."
Skizzierter Beweis: Umgekehrt, wenn eine Menge angegeben ist so dass Gl. (21) hält off-shell, dann wird die infinitesimale Transformation (12) von erzeugt ist eine Quasisymmetrie des Hamiltonschen Lagrangians
Weil ist eine Gesamtzeitableitung. Hier haben wir definiert
Die entsprechende volle Noetherladung
ist nur der Generator wir haben angefangen mit! Schließlich besagt das Noether-Theorem, dass die volle Noether-Ladung auf der Schale erhalten bleibt
Gl. (25) ist die Definitionsgleichung für eine Bewegungskonstante auf der Schale .
Diskussion. Beachten Sie, dass es übertrieben ist, den Satz von Noether zu verwenden, um Gl. (25) aus Gl. (21). Tatsächlich ist Gl. (25) folgt direkt aus der Ausgangsannahme (21) unter Verwendung von Hamiltons Formeln (5) ohne Verwendung des Satzes von Noether! Aus den oben genannten Gründen lehnen wir als Puristen die gängige Praxis ab, sich auf die Implikation (21) zu beziehen. (25) als eine „Hamiltonsche Version des Satzes von Noether“.
Interessanterweise funktioniert für die Hamilton-Wirkung (1) ein inverser Satz von Noether, dh ein Erhaltungssatz auf der Schale (25) führt zu einer Quasisymmetrie (12) der Wirkung (1) auf der Schale, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .
Tatsächlich kann man zeigen, dass (21) (25), vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .
Beispiel 4: Das Kepler-Problem: Die Symmetrien, die mit der Erhaltung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors im Kepler-Problem verbunden sind, sind über eine rein Lagrange-Formulierung im Konfigurationsraum schwer zu verstehen
kann aber leicht in der entsprechenden Hamiltonschen Formulierung im Phasenraum beschrieben werden, vgl. Wikipedia und dieser Phys.SE-Beitrag.
Wenn Ihr Hamilton-Operator unveränderlich ist, bedeutet dies, dass es für eine Funktion eine verschwindende Poisson-Klammer geben sollte Ihrer kanonischen Koordinaten, damit
Eine Sache zu beachten: Der Lagrange-Operator ist eine Funktion von Ort und Geschwindigkeit, während der Hamilton-Operator eine Funktion von Ort und Impuls ist. Also, Ihr und in und sind nicht die gleichen Funktionen.
Ahorn
QMechaniker
Valter Moretti