Was macht eine Symmetrie, die den Lagrange-Operator durch eine totale Ableitung ändert, mit dem Hamilton-Operator HHH?

i) Haftungsausschluss. Als Purist missbillige ich die gängige Praxis, die Implikation zu nennen

$$\tag{1} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$$ für eine „Hamiltonsche Version des Satzes von Noether“ vgl. meine Phys.SE antwortet hier & hier . Mein Grund ist, dass die Implikation (1) nur eine triviale Konsequenz der Hamiltonschen Gleichungen ist, nicht mehr.

II) Stattdessen sollte sich eine „Hamiltonsche Version des Satzes von Noether“ auf Quasi-Symmetrien einer Hamiltonschen Wirkung beziehen

$$S_H[q,p] ~:=~ \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t), \tag{2}$$ und ihre entsprechenden Erhaltungsgesetze. Hier$L_H$ist die sogenannte Hamiltonsche Lagrangedichte $$L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). \tag{3}$$

III) Es ist ein Missverständnis, dass all diese Aufregung um totale Ableitungen [...] im Hamiltonschen Rahmen verschwindet. Die hamiltonsche Version erlaubt, dass die hamiltonsche Wirkung nur bis zu den Randtermen (dh einer sogenannten Quasi-Symmetrie ) invariant ist, genau wie in der Lagrange-Standardformulierung des Satzes von Noether . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Ich nehme an, ich habe die "Antwort" auf meine sehr vage Frage herausgefunden, obwohl die anderen Antworten hier auch hilfreich sind. Der "Hamiltonian Lagrangian" ist

$$L = p_i \dot q_i - H.$$ Angenommen, wir haben eine Erhaltungsladung$Q$, das ist $$\{Q, H\} = 0.$$ Wenn wir die winzige Symmetrievariation machen $$\delta q_i = \frac{\partial Q}{\partial p_i} \hspace{1cm} \delta p_i = - \frac{\partial Q}{\partial q_i}$$ Dann $$\begin{align*} \delta L &= - \frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i - p_i \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) + \{ H, Q\} \\ &= - \frac{\partial Q}{\partial p_i} \dot q_i - \dot p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} + \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) \\ &= \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q\Big) \end{align*}$$

Das können wir also sehen$L$zwangsläufig durch eine totale Ableitung ändert. Wenn die Menge$p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q = 0$, die totale Ableitung ist$0$. Dies geschieht, wenn die Erhaltungsgröße von der Form ist

$$Q = p_i f_i(q).$$ Beachten Sie, dass im obigen Fall $$\delta q_i = f_i(q)$$ Das heißt, Symmetrietransformationen, die die nicht "verwechseln".$p$ist mit dem$q$haben keinen Gesamtableitungsterm in$\delta L$.

Der Grund, warum wir nicht von "Ändern des Hamilton-Operators durch eine totale Ableitung" sprechen, liegt darin, dass Symmetrien und Erhaltungssätze im Hamilton-Bild normalerweise anders gehandhabt werden.

In der Hamiltonschen Mechanik jede Funktion$f$auf dem Phasenraum erzeugt einen Fluss auf dem Phasenraum, dh eine Ein-Parameter-Familie von kanonischen Transformationen$(q, p) \to (\tilde{q}(\alpha), \tilde{p}(\alpha))$. Die induzierte Änderungsrate einer beliebigen anderen Phasenraumfunktion$g$Ist

$$\frac{dg}{d\alpha} = \{g, f\}.$$ Insbesondere erzeugt der Hamiltonian selbst eine Zeitübersetzung, $$\frac{dg}{dt} = \{g, H\}.$$ Die Aussage, dass$Q(q, p)$ist eine Erhaltungsgröße ist einfach $$\{Q, H\} = 0.$$ Das heißt, die Zeitentwicklung, die durch erzeugt wird$H$ändert den Wert von nicht$Q$. Der Schlüssel ist, dass dies durch die Antisymmetrie der Poisson-Klammer äquivalent ist zu$\{H, Q\} = 0$, die besagt, dass die kanonischen Transformationen von erzeugt werden$Q$ändern Sie nicht die Werte von$H$.

Somit gilt bei gegebener infinitesimaler kanonischer Transformation$H$ebenso ist sein Erzeuger eine Erhaltungsgröße. Dies kommt dem Satz von Noether am nächsten, den Sie normalerweise in der Hamiltonschen Mechanik sehen werden. Da bezieht es sich nur auf$H$, nicht das Integral von$H$, über Aufbewahrung braucht man nicht zu reden$H$invariant bis zu einer totalen Ableitung – es muss nur invariant sein, Punkt. (Siehe aber auch die Antwort von Qmechanic über eine aktionsähnliche Formulierung, wo sie erscheint.)