Gibt es für den Hamiltonschen Formalismus eine Art Noether-Theorem?

Handlungsformulierung. Es sollte betont werden, dass der Satz von Noether eine Aussage über Konsequenzen von Symmetrien eines Aktionsfunktionals ist (im Gegensatz zu zB Symmetrien von Bewegungsgleichungen oder Lösungen davon, vgl. diesen Phys.SE-Beitrag). Um den Satz von Noether anzuwenden, benötigen wir also zunächst eine Aktionsformulierung. Wie erhalten wir eine Aktion für eine Hamiltonsche Theorie? Betrachten wir der Einfachheit halber die Punktmechanik (im Gegensatz zur Feldtheorie, die eine einfache Verallgemeinerung ist). Dann lautet die Hamilton-Aktion

$$S_H[q,p] ~:=~ \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t). \tag{1}$$

Hier$L_H$ist die sogenannte Hamiltonsche Lagrangedichte

$$L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). \tag{2}$$

Wir können die Wirkung (1) als ein Lagrange-System erster Ordnung betrachten$L_H(z,\dot{z},t)$in doppelt so vielen Variablen

$$(z^1,\ldots,z^{2n}) ~=~ (q^1, \ldots, q^n;p_1,\ldots, p_n).\tag{3}$$

Gl. der Bewegung. Man kann beweisen, dass die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen für die Hamiltonsche Wirkung (1) zu den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen führen

$$\begin{align} 0~\approx~&\frac{\partial S_H}{\partial z^I} ~=~\sum_{J=1}^{2n}\omega_{IJ}\dot{z}^J -\frac{\partial H}{\partial z^I}\cr\cr \qquad\Updownarrow&\qquad\cr\cr \dot{z}^I~\approx~&\{z^I,H\}\cr\cr \qquad\Updownarrow&\qquad\cr\cr \dot{q}^i~\approx~& \{q^i,H\} ~=~\frac{\partial H}{\partial p_i}\cr \qquad \wedge&\qquad\cr \dot{p}_i~\approx~& \{p_i,H\}~=~-\frac{\partial H}{\partial q^i}. \end{align}\tag{4}$$

[Hier die$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit auf der Schale, dh Modulo der Bewegungsgleichungen (eom).] Äquivalent für eine beliebige Größe$Q=Q(q,p,t)$wir können die Hamilton's eoms (4) kollektiv schreiben als

$$\frac{dQ}{dt}~\approx~ \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}.\tag{5}$$

Um auf die Frage von OP zurückzukommen, kann das Noether-Theorem dann auf die Hamilton-Aktion (1) angewendet werden, um Symmetrien und Erhaltungssätze zu untersuchen.

Aussage 1: "Eine Symmetrie wird durch ihre eigene Noether-Ladung erzeugt."

Skizzierter Beweis: Gegeben sei eine infinitesimale (vertikale) Transformation

$$\begin{align} \delta z^I~=~& \epsilon Y^I(q,p,t), \cr &I~\in~\{1, \ldots, 2n\}, \cr \delta t~=~&0,\end{align}\tag{6}$$

wo$Y^I=Y^I(q,p,t)$sind (vertikale) Generatoren, und$\epsilon$ist ein infinitesimaler Parameter. Die Transformation (6) sei eine Quasisymmetrie des Hamiltonschen Lagrangians

$$\delta L_H~=~\epsilon \frac{d f^0}{dt},\tag{7}$$

wo$f^0=f^0(q,p,t)$ist irgendeine Funktion. Per Definition ist die bloße Noether-Ladung

$$Q^0~:=~ \sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I} Y^I \tag{8}$$

dabei ist die volle Noetherladung

$$Q~:=~Q^0-f^0. \tag{9}$$

Der Satz von Noether garantiert dann eine Off-Shell-Noether-Identität

$$\begin{align} \sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I} &+\frac{\partial Q}{\partial t}\cr ~=~& \frac{dQ}{dt}\cr ~\stackrel{\text{NI}}{=}~& -\sum_{I=1}^{2n} \frac{\delta S_H}{\delta z^I}Y^I \cr ~\stackrel{(4)}{=}~& \sum_{I,J=1}^{2n}\dot{z}^I\omega_{IJ}Y^J\cr &+\sum_{I=1}^{2n} \frac{\partial H}{\partial z^I}Y^I . \end{align} \tag{10}$$

Durch den Vergleich von Koeffizientenfunktionen von$\dot{z}^I$auf den beiden Seiten von Gl. (10) schließen wir daraus, dass die volle Noether-Ladung$Q$erzeugt die Quasisymmetrietransformation

$$Y^I~=~\{z^I,Q\}.\tag{11}$$ $\Box$

Aussage 2: "Ein Symmetriegenerator ist im Wesentlichen eine Bewegungskonstante."

Skizzierter Beweis: Es sei eine Menge gegeben$Q=Q(q,p,t)$(a priori nicht unbedingt die Noether-Ladung) so dass die infinitesimale Transformation

$$\begin{align} \delta z^I~=~& \{z^I,Q\}\epsilon,\cr &I~\in~\{1, \ldots, 2n\}, \cr \delta t~=~&0,\cr \delta q^i~=~&\frac{\partial Q}{\partial p_i}\epsilon, \cr \delta p_i~=~& -\frac{\partial Q}{\partial q^i}\epsilon, \cr &i~\in~\{1, \ldots, n\},\end{align}\tag{12}$$

generiert durch$Q$, und mit infinitesimalen Parametern$\epsilon$, ist eine Quasisymmetrie (7) der Hamilton-Lagrange-Funktion. Die bloße Noether-Ladung ist per Definition

$$\begin{align} Q^0~:=~& \sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I} \{z^I,Q\}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~& \sum_{i=1}^n p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}.\end{align}\tag{13}$$

Der Satz von Noether garantiert dann eine Off-Shell-Noether-Identität

$$\begin{align} \frac{d (Q^0-f^0)}{dt} ~\stackrel{\text{NI}}{=}~& -\sum_{I=1}^{2n}\frac{\delta S_H}{\delta z^I} \{z^I,Q\}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~& \sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I} +\{H,Q\}\cr ~=~&\frac{dQ}{dt}-\frac{\partial Q}{\partial t} +\{H,Q\}. \end{align}\tag{14}$$

Erstens impliziert das Noether-Theorem, dass die entsprechende volle Noether-Ladung$Q^0-f^0$wird auf der Schale konserviert

$$\frac{d(Q^0-f^0)}{dt}~\approx~0,\tag{15}$$

was auch direkt aus Gl. (5) und (14). Zweitens kann die Off-Shell-Noether-Identität (14) umgeschrieben werden als

$$\begin{align} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t} ~\stackrel{(14)+(17)}{=}&~\frac{dg^0}{dt}\cr ~=~~~&\sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial g^0}{\partial z^I}+\frac{\partial g^0}{\partial t},\end{align}\tag{16}$$

wo wir die Menge definiert haben

$$g^0~:=~Q+f^0-Q^0.\tag{17}$$

Wir schließen aus der Off-Shell-Identität (16), dass (i)$g^0=g^0(t)$ist nur eine Funktion der Zeit,

$$\frac{\partial g^0}{\partial z^I}~=~0\tag{18}$$

[Weil$\dot{z}$erscheint nicht auf der linken Seite. von Gl. (16)]; und (ii) dass die folgende Off-Shell-Identität gilt

$$\{Q,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t} ~=~\frac{\partial g^0}{\partial t}.\tag{19}$$

Beachten Sie, dass die Quasisymmetrie und die Gl. (12)-(15) sind invariant, wenn wir den Generator neu definieren

$$Q ~~\longrightarrow~~ \tilde{Q}~:=~Q-g^0 .\tag{20}$$

Dann das neue$\tilde{g}^0=0$verschwindet. Lässt man die Tilde aus der Notation fallen, vereinfacht sich die Off-Shell-Identität (19) zu

$$\{Q,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0.\tag{21}$$

Gl. (21) ist die Definitionsgleichung für eine Bewegungskonstante außerhalb der Schale $Q$.

$\Box$

Aussage 3: "Eine Bewegungskonstante erzeugt eine Symmetrie und ist ihre eigene Noether-Ladung."

Skizzierter Beweis: Umgekehrt, wenn eine Menge angegeben ist$Q=Q(q,p,t)$so dass Gl. (21) hält off-shell, dann wird die infinitesimale Transformation (12) von erzeugt$Q$ist eine Quasisymmetrie des Hamiltonschen Lagrangians

$$\begin{align} \delta L_H ~\stackrel{(2)}{=}~~& \sum_{i=1}^n\dot{q}^i \delta p_i -\sum_{i=1}^n\dot{p}_i \delta q^i \cr &-\delta H +\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^np_i \delta q^i \cr ~\stackrel{(12)+(13)}{=}&~ -\sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I}\epsilon\cr &-\{H,Q\}\epsilon + \epsilon \frac{d Q^0}{dt}\cr ~\stackrel{(21)}{=}~~& \epsilon \frac{d (Q^0-Q)}{dt}\cr ~\stackrel{(23)}{=}~~& \epsilon \frac{d f^0}{dt},\end{align}\tag{22}$$

Weil$\delta L_H$ist eine Gesamtzeitableitung. Hier haben wir definiert

$$f^0~=~ Q^0-Q .\tag{23}$$

Die entsprechende volle Noetherladung

$$Q^0-f^0~\stackrel{(23)}{=}~Q \tag{24}$$

ist nur der Generator$Q$wir haben angefangen mit! Schließlich besagt das Noether-Theorem, dass die volle Noether-Ladung auf der Schale erhalten bleibt

$$\frac{dQ}{dt}~\approx~0.\tag{25}$$

Gl. (25) ist die Definitionsgleichung für eine Bewegungskonstante auf der Schale $Q$.

$\Box$

Diskussion. Beachten Sie, dass es übertrieben ist, den Satz von Noether zu verwenden, um Gl. (25) aus Gl. (21). Tatsächlich ist Gl. (25) folgt direkt aus der Ausgangsannahme (21) unter Verwendung von Hamiltons Formeln (5) ohne Verwendung des Satzes von Noether! Aus den oben genannten Gründen lehnen wir als Puristen die gängige Praxis ab, sich auf die Implikation (21) zu beziehen.$\Rightarrow$(25) als eine „Hamiltonsche Version des Satzes von Noether“.

Interessanterweise funktioniert für die Hamilton-Wirkung (1) ein inverser Satz von Noether, dh ein Erhaltungssatz auf der Schale (25) führt zu einer Quasisymmetrie (12) der Wirkung (1) auf der Schale, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Tatsächlich kann man zeigen, dass (21)$\Leftrightarrow$(25), vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

Beispiel 4: Das Kepler-Problem: Die Symmetrien, die mit der Erhaltung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors im Kepler-Problem verbunden sind, sind über eine rein Lagrange-Formulierung im Konfigurationsraum schwer zu verstehen

$$L~=~ \frac{m}{2}\dot{q}^2 + \frac{k}{q},\tag{26}$$

kann aber leicht in der entsprechenden Hamiltonschen Formulierung im Phasenraum beschrieben werden, vgl. Wikipedia und dieser Phys.SE-Beitrag.

Wenn Ihr Hamilton-Operator unveränderlich ist, bedeutet dies, dass es für eine Funktion eine verschwindende Poisson-Klammer geben sollte$F(q,p)$Ihrer kanonischen Koordinaten, damit

$$\{ H(q,p), F(q,p)\} = 0$$ Da die Poisson-Klammer mit dem Hamilton-Operator auch die zeitliche Ableitung liefert, hast du automatisch dein Erhaltungsgesetz.

Eine Sache zu beachten: Der Lagrange-Operator ist eine Funktion von Ort und Geschwindigkeit, während der Hamilton-Operator eine Funktion von Ort und Impuls ist. Also, Ihr$T$und$V$in$L = T - V$und$H = T + V$sind nicht die gleichen Funktionen.