Einfacher Beweis des Satzes von Noether? [Duplikat]

Wir betrachten infinitesimale Transformationen eines Feldes in der Form

$$\phi\to\phi' = \phi(x)+\alpha \Delta \phi(x)$$

für einen infinitesimalen Parameter$\alpha$. Das System wird als invariant unter einer solchen Transformation bezeichnet, wenn es sich bis zu einem totalen Ableitungs- oder Oberflächenterm ändert, dh

$$\mathcal{L}\to\mathcal{L}'=\mathcal{L}(x)+\alpha \,\partial_\mu F^{\mu}(x)$$

Durch Variation in Bezug auf die Felder,

$$\alpha \Delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\alpha \Delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial_\mu (\alpha\Delta \phi)$$ $$= \alpha \underbrace{\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\Delta \phi\right)}_{F^\mu(x)} + \alpha \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right)\right]\Delta \phi$$

wobei wir in der letzten Zeile die Bewegungsgleichungen verwendet haben, die sich aus der Forderung ergeben$\delta S=0$. Beachten Sie, dass der zweite Term aus diesem Grund Null ist, und daher können wir erklären:

$$j^{\mu}(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\Delta \phi - F^{\mu}(x)$$

was die Kontinuitätsgleichung erfüllt,$\partial_\mu j^{\mu}=0$, oder in der Vektorrechnungssprache,

$$\frac{\partial j^{0}}{\partial t}+\nabla \cdot \vec{j}=0$$

Die entsprechende Noether-Ladung ist gegeben durch

$$Q=\int \mathrm{d}^{d-1} x \, j^{0}$$

was man über die Kontinuitätsgleichung und den Satz von Stokes verifizieren kann$Q$wird lokal konserviert.

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Nützliche Ressourcen: Einführung in die Quantenfeldtheorie von Peskin und Schroeder