Trivial konservierter Noetherstrom mit zweiten Ableitungen

Question

Trivial konservierter Noetherstrom mit zweiten Ableitungen

Diffeomorphismus

Ich erwäge eine Symmetrietransformation an einem Lagrange

δ A = \int L (Q + δ Q, \dot{Q} + δ \dot{Q}, \ddot{Q} + δ \ddot{Q}) D T

$\delta A = \int L(q +\delta q, \dot{q} + \delta \dot{q} , \ddot{q} + \delta \ddot{q}) dt$

die allgemeine Variation nimmt die Form an

δ A = \int \frac{\partial L}{\partial Q} δ Q + \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} δ \dot{Q} + \frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}} δ \ddot{Q} D T

$\delta A = \int \frac{ \partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \ddot{q} dt$

Nun wird der zweite Term innerhalb des Integrals normalerweise wie folgt behandelt:

\int \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} δ \dot{Q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} δ Q - \int \frac{\partial}{\partial T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}) δ Q

$\int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q - \int \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ) \delta q$

Der dritte Begriff erfordert etwas mehr Arbeit, ich habe es als:

\int \frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}} δ \ddot{Q} = \frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}} δ \dot{Q} - \frac{\partial}{\partial T} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}}) δ Q + \int \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} T} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}}) δ Q

$\int \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \ddot{q} = \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \dot{q} - \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} ) \delta q + \int \frac{\partial^2}{\partial^2 t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} ) \delta q$

Meine Variation (die im Fall der Symmetrie bis zu den Randbedingungen Null sein muss) ist also

δ A = \int {\frac{\partial L}{\partial Q} - \frac{\partial}{\partial T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}) + \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} T} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}})} δ Q D T + {\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} - \frac{\partial}{\partial T} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}})} δ Q + \frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}} δ \dot{Q}

$\delta A = \int \Big \{ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ) + \frac{\partial^2}{\partial^2 t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} ) \Big \} \delta q dt + \Big \{ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} ) \Big \} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \dot{q}$

Jetzt nehme ich, dass beide Randbedingungen konservierte Ströme sind:

\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} - \frac{\partial}{\partial T} (\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}})

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial}{\partial t}( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} )$

Und

\frac{\partial L}{\partial \ddot{Q}}

$\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}$

Aber wenn der zweite ein konservierter Strom ist, dann ist seine Ableitung Null, und der konservierte Strom wird trivial identisch mit dem Fall erster Ordnung

Was ist der Fehler in meiner Ableitung?

ZachMcDargh

Wissen Sie, dass dieses Ergebnis falsch ist? Das erscheint mir nicht selbstverständlich.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/123098/2451

Antworten (1)

Trivial konservierter Noetherstrom mit zweiten Ableitungen

Wissen Sie, dass dieses Ergebnis falsch ist? Das erscheint mir nicht selbstverständlich.

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage (v2):

Gegeben sei eine Lagrange-Funktion
$\begin{matrix} (1) & L (Q, v, A, T), v^{ich} := {\dot{Q}}^{ich}, A^{ich} := {\dot{v}}^{ich}, ȷ^{ich} := {\dot{A}}^{ich}, \end{matrix}$ $\tag{1} L(q,v,a,t), \qquad v^i~:=~\dot{q}^i,\qquad a^i~:=~\dot{v}^i,\qquad \jmath^i~:=~\dot{a}^i,$ das hängt von bis zur zweiten zeitlichen Ableitung ab.
Lassen
$\begin{matrix} (2) & δ Q^{ich} = ε Y^{ich} (Q, v, A, T), \end{matrix}$ $\tag{2} \delta q^i~=~\varepsilon Y^i(q,v,a,t) ,$ sei eine (globale, vertikale) Quasi-Symmetrie der Lagrangefunktion, dh es existiert eine Funktion $f(q,v,a,\jmath,t)$ so dass $\begin{matrix} (3) & δ L = ε \frac{D F}{D T} . \end{matrix}$ $\tag{3} \delta L ~=~ \varepsilon \frac{df}{dt}.$ Hier $\varepsilon$ ist ein infinitesimaler konstanter Parameter.
Der (erste) Satz von Noether besagt, dass eine einzelne Quasisymmetrie (3) einem einzelnen Erhaltungssatz auf der Schale entspricht $^1$
$\begin{matrix} (4) & \frac{D Q}{D T} \approx 0. \end{matrix}$ $\tag{4} \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$
Die entsprechende (volle) Noether-Ladung ist in diesem Fall
$\begin{matrix} (5) & Q := (\frac{\partial L}{\partial v^{ich}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial A^{ich}}) Y^{ich} + \frac{\partial L}{\partial A^{ich}} \frac{D Y^{ich}}{D T} - F . \end{matrix}$ $\tag{5} Q~:=~\left(\frac{\partial L}{\partial v^i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial a^i}\right)Y^i +\frac{\partial L}{\partial a^i}\frac{dY^i}{dt} - f.$
Der Fehler in der Ableitung von OP scheint zu sein, dass es im Grunde nicht existiert.

--

$^1$ Hier das $\approx$ Symbol bezeichnet Gleichheits-Modulo-Euler-Lagrange(EL)-Gleichungen. Beachten Sie, dass für gut definierte EL-Gl. es ist notwendig, entsprechende Randbedingungen aufzuerlegen.

"Der Fehler in der Ableitung von OP scheint zu sein, dass es im Grunde nicht existiert." Ich verstehe nicht, was Sie damit meinen? was genau gibt es nicht?
Das bedeutet, dass es anscheinend keinen Beweis dafür gibt, dass die beiden Randterme [die in Frage (v2) vorgeschlagen werden] überhaupt konservierte Ströme sind, teilweise weil die Quasisymmetrie nicht explizit spezifiziert wurde, und daher keine tatsächlichen Ansprüche zu diskutieren.
würde $f$ (was ich als reine Randterme verstehe) eine andere Funktion für verschiedene Symmetrietransformationen sein? Mir ist nicht klar, wie man das berechnet $f$ das geht am ende $Q$ Ausdruck im allgemeinen Fall. Wäre es bei Translationen, Rotationen oder Zeitverschiebungen anders?
Ich denke, mein Zweifel läuft darauf hinaus: Sie müssen die Variation der Aktion in allen Fällen berechnen, um sie zu erhalten $f$ ? Wille $f$ einfach allen Grenztermen der endgültigen Variation gleich sein?
Eine allgemeingültige Formel dafür ist nicht möglich $f$ . Es kann nur gerechnet werden $f$ für konkret gegebene Lagrange-Operatoren und Quasi-Symmetrie-Transformationen.
Dieser Formalismus, den Sie hier verwenden, ist irgendwo in der Literatur mit dieser Notation für Lagrangianer höherer Ordnung und verallgemeinerte Symmetrien verfügbar? Jede Referenz, die Sie zur Verfügung stellen könnten, wäre für mich hilfreich! Vielen Dank im Voraus...

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ZachMcDargh

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