Gesamtenergie in rheonomischen Systemen

Question

Gesamtenergie in rheonomischen Systemen

DS08

Ich lese Lanczos Variational Principles of Mechanics S. 124 und folge einer Diskussion darüber, wie wir zu skleronomischen Systemen kommen

\begin{matrix} (53.12) & \sum_{ich = 1}^{N} P_{ich} {\dot{Q}}_{ich} - L = C Ö N S T . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^{n} p_i\dot q_i - L = const.\tag{53.12}$

Für rheonomische Systeme wird das angegeben

\begin{matrix} (53.22) & δ L = D L - \frac{\partial L}{\partial T} D T = ϵ (\dot{L} - \frac{\partial L}{\partial T}) \end{matrix}

$\delta L=dL-\frac{\partial L}{\partial t}dt = \epsilon\left(\dot L -\frac{\partial L}{\partial t}\right)\tag{53.22}$ Wo

ϵ = d t

$\epsilon=dt$ , was dazu führt

\begin{matrix} (53.23) & {[\sum_{ich = 1}^{N} P_{ich} {\dot{Q}}_{ich} - L]}_{T_{1}}^{T_{2}} = - \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{\partial L}{\partial T} D T \end{matrix}

$\left[\sum_{i=1}^{n} p_i\dot q_i - L\right]^{t_2}_{t_1} = -\int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial L}{\partial t} dt\tag{53.23}$

Allerdings, wenn ich die Variation mache

δ \int_{T_{1}}^{T_{2}} L D T = ϵ \int_{T_{1}}^{T_{2}} (\dot{L} - \frac{\partial L}{\partial T}) D T = ϵ L |_{T_{1}}^{T_{2}} - \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{\partial L}{\partial T} D T

$\delta\int_{t_1}^{t_2} L~dt= \epsilon\int_{t_1}^{t_2} \left(\dot L -\frac{\partial L}{\partial t}\right)dt = \epsilon L|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial t}dt$

Ich bekomme ein Extra $\epsilon L|_{t_1}^{t_2}$ Begriff? Jeder Einblick in das, was fehlt, wäre sehr dankbar!

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/94381/2451 und darin enthaltene Links.

DS08

Diese Frage gilt für skleronomische (zeitunabhängige) Systeme, bei denen wir Energieerhaltung erhalten. Bei dieser Frage geht es darum, das rheonomische Äquivalent abzuleiten

Mike Stein

Sollen wir nicht machen

ϵ

$\epsilon$ darauf ankommen

t

$t$ und an den Endpunkten verschwinden?

DS08

Daraus leiten sich die allgemeinen Bewegungsgleichungen ab

δ \int L d t = 0

$\delta \int Ldt =0$

Antworten (1)

Gesamtenergie in rheonomischen Systemen

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/94381/2451 und darin enthaltene Links.
Diese Frage gilt für skleronomische (zeitunabhängige) Systeme, bei denen wir Energieerhaltung erhalten. Bei dieser Frage geht es darum, das rheonomische Äquivalent abzuleiten
Sollen wir nicht machen $\epsilon$ darauf ankommen $t$ und an den Endpunkten verschwinden?
Daraus leiten sich die allgemeinen Bewegungsgleichungen ab $\delta \int Ldt =0$

QMechaniker · Answer 1

Nun, Lanczos verwendet die infinitesimalen Transformationen

\begin{matrix} (A'') & T^{'} - T =: δ T = 0, (keine horizontale Variation) \end{matrix}

$t^{\prime} - t ~=:~\delta t ~=~0, \qquad \text{(no horizontal variation)}\tag{A''}$

\begin{matrix} (B'') & Q^{' ich} (T) - Q^{ich} (T) =: δ_{0} Q^{ich} = ϵ \dot{Q}, (vertikale Variation) \end{matrix}

$q^{\prime i}(t) - q^i(t)~=:~\delta_0 q^i ~=~\epsilon\dot{q}, \qquad \text{(vertical variation)}\tag{B''}$

\begin{matrix} (C'') & Q^{' ich} (T^{'}) - Q^{ich} (T) =: δ Q^{ich} = ϵ \dot{Q} . (vollständige Variante), \end{matrix}

$q^{\prime i}(t^{\prime}) - q^i(t)~=:~\delta q^i ~=~\epsilon\dot{q}. \qquad \text{(full variation)},\tag{C''}$

vgl. Gl. (53.1). Es wird in Abschnitt V in meiner Phys.SE-Antwort hier erklärt

\begin{matrix} (D'') & D (P_{ich} ϵ {\dot{Q}}^{ich}) = D (P_{ich} δ_{0} Q^{ich}) \approx δ_{0} L = \frac{\partial L}{\partial Q^{ich}} δ_{0} Q^{ich} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}^{ich}} δ_{0} {\dot{Q}}^{ich} = ϵ \frac{\partial L}{\partial Q^{ich}} {\dot{Q}}^{ich} + ϵ \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}^{ich}} {\ddot{Q}}^{ich} = ϵ \frac{D L}{D T} - ϵ \frac{\partial L}{\partial T} . \end{matrix}

$d(p_i\epsilon\dot{q}^i)~=~d(p_i\delta_0q^i)~\approx~\delta_0 L ~=~\frac{\partial L}{\partial q^i }\delta_0 q^i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i }\delta_0 \dot{q}^i ~=~\epsilon\frac{\partial L}{\partial q^i }\dot{q}^i + \epsilon\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \ddot{q}^i ~=~ \epsilon\frac{dL}{dt}-\epsilon\frac{\partial L}{\partial t}. \tag{D''}$

Der Satz von Noether ergibt dann, dass der Möchtegern-nackte Noetherstrom, der volle Noetherstrom und das Erhaltungsgesetz sind

J = P_{ich} {\dot{Q}}^{ich},

$j~=~p_i\dot{q}^i,$

J = P_{ich} {\dot{Q}}^{ich} - L,

$J~=~p_i\dot{q}^i-L,$ Und

\frac{D J}{D T} \approx - \frac{\partial L}{\partial T},

$\frac{dJ}{dt}~\approx~-\frac{\partial L}{\partial t},$ bzw,

So effektiv die $\epsilon L|_{t_1}^{t_2}$ Begriffe verschwinden einfach?
Nein, dieser Begriff (der übrigens bereits im skleronomischen Fall vorhanden ist) bewirkt, dass der volle Noetherstrom vom reinen Noetherstrom verschieden ist.
Ohh, ich verstehe, was los ist. Die linke Seite ist gleich $\sum p_i \dot q_i |_{t1}^{t2}$ also musste ich diese Begriffe wirklich nur auf der linken Seite hinzufügen. Das macht jetzt Sinn. Danke!

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