Welche Logik führt zur Energieerhaltung aus Zeitinvarianz? [Duplikat]

Die Zeitunabhängigkeit eines ein System beschreibenden Hamiltonoperators (oder eines Lagrangeoperators) bedeutet nicht immer, dass die Energie erhalten bleibt. Wenn Sie beispielsweise ein System in einem nicht-inertialen Bezugssystem (z. B. einem rotierenden Koordinatensystem) beschreiben, dann gibt es keine Zeitinvarianz (dh: der Hamilton-Operator des Systems ist unabhängig von der Zeit). Erhaltung der Energie.

In der klassischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus, ist der Hamilton-Operator eines Systems (die Legendre-Transformation des Lagrange-Operators in kanonischen Momenten) der Zeitentwicklungsgenerator. Im Allgemeinen, wenn der Hamiltonian$H$(dasselbe gilt für den Lagrange) hängt nicht explizit von der Zeit ab (dh:$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$) Dann$H$wird konserviert (dh:$\frac{d H}{d t} = 0$). Aber der Hamiltonoperator ist nicht immer gleich der Energie eines Systems!

Um sicherzugehen$H$gleich der Gesamtenergie des Systems ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

1. Die Koordinaten des Bezugsrahmens, ausgedrückt durch die verallgemeinerten Koordinaten (die Positionskoordinaten des Hamilton-Operators), dürfen nicht von der Zeit abhängen und
2. Das Potential darf nicht von den verallgemeinerten Koordinaten-Gesamtzeitableitungen abhängen.

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, dann$H=E$und wenn$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$Dann$\frac{d H}{d t} = \frac{d E}{d t} = 0$die Energie bleibt also erhalten. Natürlich haben wir das in den meisten Fällen$H=E$aber es ist nicht in allen Fällen. Fazit: Zeitinvarianz bedeutet nicht immer Energieerhaltung.

All dieser Formalismus ist explizit mathematisch definiert und die Beweise dieser Theoreme sind ziemlich umständlich zu schreiben und sie kommen mit ein paar Definitionen. Für weitere Details verweise ich auf ein klassisches Mechanikbuch wie Goldstein's Classical Mechanics book, das eine Standardreferenz für diese Angelegenheit ist.