Wie ist es möglich, die Zeit zu variieren, ohne die Koordinaten oder ihre Ableitungen zu beeinflussen?

Im Kontext von Noethers Theorem ist der Hamiltonoperator die Bewegungskonstante, die mit der Zeittranslationsinvarianz des Lagrangeoperators verbunden ist. Zeittranslationsinvarianz entspricht der Lagrange-Funktion, die nicht explizit von der Zeit abhängt

∂ L ∂ T = 0 .

Der Grund für ihre Äquivalenz ist, dass wir für eine infinitesimale Zeitübersetzung die Lagrange-Funktion als Erweiterung erster Ordnung ihrer Taylor-Reihe annähern können

δ L ≡ L ( Q , Q ˙ , T + ϵ ) − L ( Q , Q ˙ , T ) = ∂ L ∂ T ϵ
das richtige

Aber sollte nicht T ↦ T + ϵ induzieren Q ( T ) ↦ Q ( T + ϵ ) Und Q ˙ ( T ) ↦ Q ˙ ( T + ϵ ) ? und wenn dem so ist dann

δ L ≡ L ( Q ( T + ϵ ) , Q ˙ ( T + ϵ ) , T + ϵ ) − L ( Q , Q ˙ , T ) = ∂ L ∂ T ϵ + ∂ L ∂ Q ϵ + ∂ L ∂ Q ˙ ϵ
 der falsche

Ein Lagrange-Operator ist also genau dann transational invariant, wenn er nicht explizit davon abhängt Q , Q ˙ Und T was keinen Sinn macht. Wie ist es also möglich, die Zeit zu variieren, ohne die Koordinaten oder ihre Ableitungen zu beeinflussen, die selbst Funktionen der Zeit sind?

Antworten (1)

Lassen T → T + ε eine explizite Variation der Zeitvariablen sein, die wiederum reflektiert wird Q → Q + δ Q Und v → v + δ v , bzw. (wie Sie darauf hingewiesen haben).

Lassen L ( Q , v , T ) sei die Lagrange-Funktion, die der Variation unterzogen wird

δ L ( Q , v , T ) = ∂ L ∂ Q δ Q + ∂ L ∂ v δ v + ∂ L ∂ T δ T
unter der oben erwähnten Zeittransformation, per Definition von Variation.

Auf die Lösung der Bewegungsgleichung (und nur dort) hat man

δ v = D ( δ Q )
nämlich die Variation pendelt mit der zeitlichen Ableitung; daher wird das obige
δ L ( Q , v , T ) = ∂ L ∂ Q δ Q + ∂ L ∂ v D ( δ Q ) + ∂ L ∂ T δ T   .
Wenn man die Leibniz-Regel auf den zweiten Beitrag anwendet und die Bewegungsgleichung verwendet (auf deren Lösung wir uns entschieden haben), erhält man am Ende
δ L ( Q , v , T ) = D ( ∂ L ∂ v δ Q ) + ∂ L ∂ T δ T   .
Hypothesen zufolge ist die Lagrange-Funktion so, dass sie unter Variationen feste Grenzen hat, daher verschwindet der erste Beitrag im obigen und der verbleibende beweist das Ergebnis.

Der Fehler in Ihrer Berechnung war, dass Sie darüber nachgedacht haben δ Q , δ v beides zu sein ε , aber sie sind es nicht.

Ich bin all Ihrer Argumentation gefolgt, mit Ausnahme von "Durch Hypothese ist der Lagrangian so, dass er unter Variationen feste Grenzen hat, daher verschwindet der erste Beitrag im obigen und der verbleibende beweist das Ergebnis". Ich verstehe das nicht, kannst du es erklären?
@AngusTheMan Nachdem ich eine Weile darüber nachgedacht habe, bin ich wieder nicht überzeugt. So δ Q ( T ) Ist Q ( T + ϵ ) − Q ( T ) so dass δ Q ( T 0 ) = Q ( T F ) = 0 . Ich stimme zu, dass die Verwendung der EL-Gleichung der Verwendung des Hamilton-Prinzips entspricht. Aber wie das impliziert D ( ∂ L ∂ v δ Q ) =0, es scheint mir, dass die letztere Bedingung genau dann erfüllt ist, wenn δ Q ( T ) = 0 für alle T was nicht der Fall ist. Letzterer Term verschwindet erst bei δ Q ( T 0 ) oder δ Q ( T F ) aber nicht für irgendwelche Willkür T . Also kannst du meine Verwirrung beseitigen?
@AngusTheMan
∂ L ∂ Q ˙ δ Q | 2 − ∂ L ∂ Q ˙ δ Q | 1 = 0
Dass diese Gleichung aber verschwindet, folgt daraus, dass δ Q ( 1 ) = δ Q ( 2 ) = 0 . daher bedeutet dies nicht, dass dieser Term eine konstante Funktion der Zeit ist, oder?
Die Anwendung des Hamilton-Prinzips ist dasselbe wie die Verwendung von EL, und da wir die EL-Gleichung verwendet haben, folgt dies (aus dem Hamilton-Prinzip). δ Q ( 1 ) = δ Q ( 2 ) = 0 , daher verstehe ich nicht, wie Sie davon ausgehen können δ Q ( ich ) willkürlich sein. Kannst du mir damit helfen?
Wie ist es möglich, die Zeit zu variieren, ohne die Koordinaten oder ihre Ableitungen zu beeinflussen?
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