Warum bleibt die Energie (oder allgemeiner ausgedrückt der Hamilton-Operator) nicht erhalten, wenn der Lagrange-Operator eine explizite Zeitabhängigkeit aufweist?
Ich weiß, dass wir die Identität ableiten können:
aber gibt es eine physikalischere und intuitivere Erklärung für die Konservierung?
I) Wenn ein System (und damit die Lagrange-Funktion) explizit von der Zeit abhängt, kann dies oft physikalisch so interpretiert werden, dass das System kein isoliertes System ist . Mit anderen Worten, dass es mit der Umgebung interagiert, und daher gibt es keinen Grund, die Energie des Systems zu erhalten.
Beispiel: Ein nicht-relativistisches 1D-Punktteilchen mit Lagrange
ist quadratisch ein und die drei Koeffizienten , Und hängen explizit von der Zeit ab. Wir können interpretieren:
als schwankende (Wahl-)Nullpunktenergie. Dies ist ein totaler Ableitungsterm in der Lagrange-Funktion und wirkt sich nicht auf die Bewegungsgleichungen aus.
als äußere Kraft.
als sich ändernde Federkonstante.
II) Wenn andererseits die Lagrange-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt, so dass die Zeittranslation eine Symmetrie der Lagrange-Funktion ist, dann ergibt der (erste) Satz von Noether , dass die entsprechende Noether-Ladung (= die Energie) erhalten bleibt.
Der zeitabhängige Hamiltonoperator impliziert auch, dass das Volumenelement im Phasenraum unter Zeitentwicklung nicht erhalten bleibt.